直线与直线方程 、知识梳理 1.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕 着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a,那么a就叫做直线的倾 斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0 ≤a<180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表 示.倾斜角是90°的直线没有斜率 2斜率公式:经过两点P(x,y1)P(x2y2)的直线的斜率公式:k=2-(x≠x) 3.直线方程的五种形式 直线形式 直线方程 局限性 选择条件 不能表示与x轴垂直①已知斜率 点斜式 y-y=kx-x)的直线 ②已知一点 y=kx+b 不能表示与x轴垂直①已知斜率 斜截式 的直线 ②已知在y轴上的截 yIx 不能表示与x轴、y①已知两个定点 y2-y1x2-x1 轴垂直的直线 ②已知两个截距 两点式 x1≠x2,y1≠y2) 不能表示与x轴垂已知两个截距(截距 y 直、与y轴垂直、过可以为负) 截距式 原点的直线 (a、b分别为直线 在x轴和y轴上的截 表示所有的直线求直线方程的结果均 一般式 Ax+By+C=0 可化为一般式方程 (4、B不全为0) 7.斜率存在时两直线的平行:h1∥2分k=k2且b≠b2 8.斜率存在时两直线的垂直:l1⊥l2分→kk2=-1 9.特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时:(1)当另一条直 线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行:(2)当另一条直线的斜率为0 时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直
- 1 - ( ) 1 1 y— y = k x—x y = kx+ b 2 1 1 2 1 1 x x x x y y y y — — — — = ( ) 1 2 1 2 x x ，y y + =1 b y a x 直线与直线方程 一、知识梳理 1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕 着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾 斜角.当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0°.倾斜角的取值范围是 0° ≤ ＜180°.倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表 示.倾斜角是 90°的直线没有斜率. 2.斜率公式：经过两点 ( , ), ( , ) 1 1 1 2 2 2 P x y P x y 的直线的斜率公式： ( ) 1 2 2 1 2 1 x x x x y y k − − = 3. 直线方程的五种形式 直线形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与 x 轴垂直 的直线 ①已知斜率 ②已知一点 斜截式 不能表示与 x 轴垂直 的直线 ①已知斜率 ②已知在 y 轴上的截 距 两点式 不能表示与 x 轴、 y 轴垂直的直线 ①已知两个定点 ②已知两个截距 截距式 （ a、b 分别为直线 在 x 轴和 y 轴上的截 距） 不能表示 与 x 轴垂 直、与 y 轴垂直、过 原点的直线 已知两个截距（截距 可以为负） 一般式 Ax + By +C = 0 (A、B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的结果均 可化为一般式方程 7．斜率存在时两直线的平行： 1 2 l // l 1 k = 2 k 且 b1 b2 . 8．斜率存在时两直线的垂直： l 1 ⊥ l 2 k1 k 2= −1． 9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直 线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90°，另一条直线的倾斜角为 0°，两直线互相垂直．
、典例精析 题型一:倾斜角与斜率 【例1】下列说法正确的个数是() ①任何一条直线都有唯一的倾斜角 ②倾斜角为30的直线有且仅有一条; ③若直线的斜率为tanb,则倾斜角为b ④如果两直线平行,则它们的斜率相等 A.0个 B1个 C.2个 D.3个 【练习】如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+B+C=0不通过1 A.第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 例2】如图,直线l经过二 四象限,l的倾斜角为a,斜率为k, 则() A. ksinao B. kcosae0 C. sina≤0D.kcos≤0 【练习】图中的直线l,h2,b3的斜率分别为k1,k2,k,则 A. ki<h<k3 B. k3<ki<k2 C. k3<k?<ki D. ki<k3<k3 【例3】经过点P(2)作直线l,若直线/与连接A(O,-1),B(4)的线段总有公共点,求 直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围 【练习】已知两点(-34),B(32),过点P(2,-)的直线/与线段AB有公共点,求直线b 的斜率k的取值范围 【例4】若直线l的方程为y= x tan a+2,则( A.a一定是直线l的倾斜角 B.a一定不是直线l的倾斜角 C.—a一定是直线l的倾斜角D.a不一定是直线l的倾斜角 【练习】设直线ax+by+C=0的倾斜角为a,且sna+cosa=0,则a、b满足() A a+b=1 B a-b=l Ca+b=0 a-b=0
- 2 - 二、典例精析 题型一：倾斜角与斜率 【例 1】下列说法正确的个数是（ ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角； ②倾斜角为 0 30 的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为 tan ，则倾斜角为 ； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等 A. 0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【练习】如果 AC 0 且 BC 0 ，那么直线 Ax + By + C = 0 不通过 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【例 2】如图，直线 l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为 α，斜率为 k， 则( ) A．ksinα>0 B．kcosα>0 C．ksinα≤0 D．kcosα≤0 【练习】图中的直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则( )． A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 【例 3】经过点 P(1,2) 作直线 l ，若直线 l 与连接 A(0，—1)， B(4,1) 的线段总有公共点，求 直线 l 的倾斜角 与斜率 k 的取值范围。 【练习】已知两点 A(-3,4)，B(3,2) ，过点 P(2，-1) 的直线 l 与线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 【例 4】若直线 l 的方程为 y = x tan + 2 ，则（ ） A. 一定是直线 l 的倾斜角 B. 一定不是直线 l 的倾斜角 C. π— 一定是直线 l 的倾斜角 D. 不一定是直线 l 的倾斜角 【练习】设直线 ax + by + c = 0 的倾斜角为 ，且 sin +cos = 0 ，则 a、b 满足（ ） A. a +b =1 B. a—b =1 C. a +b = 0 D. a—b = 0
题型二:斜率的应用 【例5】若点A(2,2)B(a0)C04)共线则a的值为 【练习】若三点北(2)剧(a0)C(0b)(ab≠0)共线,则上+1的值为 【例6】已知实数x、y满足2x+y=8,当2≤x≤3时,求的最大值为 最小 值为 【练习】1、若a=--,b 2. In 3 In 5 ,则() A a<b<c B c<b<a C c<a<b D b<a<c 2x-1 2、求函数y 2+1的值域 题型三:两直线位置关系的判断 已知,两直线l,l2斜率存在且分别为k,k2,若两直线平行或重合则有k k2 若两直线垂直则有k k2 【例】已知直线的倾斜角为6°,直线经过点小3,B(-2-2√3),判断直线 l1与2的位置关系 【练习】1、已知点P(23),45),A(-,a),B(2a2)当a为何值时,直线PQ与直 线AB相互垂直? 2、已知直线m经过点4(3,a)B(a-23),直线m2经过点M(3,a)N65),若 m1⊥m2,求a的值
- 3 - 题型二：斜率的应用 【例 5】若点 A(2,2)，B(a,0),C(0,4) 共线则 a 的值为_________________. 【练习】若三点 A(2,2)，B(a,0), C(0,b) (ab 0) 共线，则 a b 1 1 + 的值为_____________. 【例 6】已知实数 x、y 满足 2x + y = 8 ，当 2 x 3 时，求 x y 的最大值为_______，最小 值为_________________ 【练习】1、若 4 ln 5 , 2 ln 3 , 1 ln 2 a = b = c = ，则（ ） A. a b c B. c b a C. c a b D. b a c 2、求函数 2 1 2 1 + = x x y — 的值域. 题型三：两直线位置关系的判断 已知，两直线 1 2 l ,l 斜率存在且分别为 1 2 k ,k ，若两直线平行或重合则有 1 __________ 2 k k ， 若两直线垂直则有 1 __________ 2 k k . 【例 7】已知直线 1 l 的倾斜角为 60 ，直线 2 l 经过点 A(1，,3)，B(— 2，— 2 3) ，判断直线 1 l 与 2 l 的位置关系. 【练习】1、已知点 P(2,3)， Q(4,5), A(—1，a)， B(2a,2) 当 a 为何值时，直线 PQ 与直 线 AB 相互垂直？ 2、已知直线 m1 经过点 A(3，a)，B(a—2,3) ，直线 m2 经过点 M(3，a),N(6,5) ，若 m1 ⊥ m2 ，求 a 的值
【例8】在平面直角坐标系中,对a∈R,直线l1:x-2a+1=0和2:2ax+y-1=0 A.互相平行 B.互相垂直 C关于原点对称 D.关于直线y=-x对称 【练习】直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,求a的值 题型四:求直线方程 (一)点斜式 【例9】根据条件写出下列直线的方程 (1)经过点A(1,2),斜率为2 (2)经过点B(—1,4),倾斜角为135 (3)经过点C(4,2),倾斜角为90° (4)经过点D(-3,-2),且与x轴平行 已知直线过一点,可设点斜式 【练习】已知△4BC中,A(,4B(26)C(20),AD⊥BC于D,求AD的直线 方程 (二)斜截式 【例10】根据条件写出下列直线的方程 (1)斜率为2,在y轴上的截距是5: (2)倾斜角为150°,在y轴的截距为-2 (3)倾斜角为45°,在y轴上的截距为0. 已知斜率时,可设斜截式 【练习】求斜率为,且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线/的方程
- 4 - 【例 8】在平面直角坐标系中，对 aR ，直线 l 1 : x—2ay +1= 0和l 2 : 2ax + y—1= 0 （ ） A. 互相平行 B. 互相垂直 C. 关于原点对称 D. 关于直线 y = —x 对称 【练习】直线 (3a +2)x +(1—4a)y +8 = 0与(5a—2)x +(a +4)y—7 = 0 垂直，求 a 的值. 题型四：求直线方程 （一）点斜式 【例 9】根据条件写出下列直线的方程： （1）经过点 A(1,2),斜率为 2； （2）经过点 B（—1,4），倾斜角为 135 ； （3）经过点 C（4,2），倾斜角为 90 ； （4）经过点 D（—3，—2），且与 x 轴平行. 已知直线过一点，可设点斜式 【练习】已知 ABC 中， A(1，—4)，B(2,6)，C(—2,0)， AD ⊥ BC 于 D ,求 AD 的直线 方程. （二）斜截式 【例 10】根据条件写出下列直线的方程： （1）斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； （2）倾斜角为 150 ，在 y 轴的截距为—2； （3）倾斜角为 45 ，在 y 轴上的截距为 0. 已知斜率时，可设斜截式： 【练习】求斜率为 4 3 ，且与坐标轴围成的三角形周长是 12 的直线 l 的方程
(三)截距式 【例12】根据条件写出下列直线的方程 (1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2 (2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4 与截距相关的问题,可设截距式 【练习】直线l过点P(4,3),且在轴、y轴上的截距之比为1:2,求直线l的方程 (四)两点式 【例11】求经过下列两点的直线方程 (1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5)(3)A(2,5),B(2,7) 适时应用“两点确定一条直线” 【练习】过点M(O)作直线l,使他被两条已知直线l1:x-3y+10和l2:x+y+4=0所 截得的线段AB被点M平分.求直线l的方程 【例12】1、已知点A(3,3)和直线/:14-3.求: (1)经过点A且与直线l平行的直线方程 (2)经过点A且与直线l垂直的直线方程 2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(2,0),C(2,3),试求AB边上的高的 直线方程.(思考:如果求AB边上的中线、角平分线呢?) 【例13】已知直线l的斜率为2,且l和两坐标轴围成面积为4的三角形,则直线l的方程为
- 5 - （三）截距式 【例 12】根据条件写出下列直线的方程： （1)在 x 轴上的截距为—3，在 y 轴上的截距为 2； （2)在 x 轴上的截距为 1，在 y 轴上的截距为—4； 与截距相关的问题，可设截距式 【练习】直线 l 过点 P(4,3) ，且在 x轴、y轴 上的截距之比为 1:2，求直线 l 的方程. （四）两点式 【例 11】求经过下列两点的直线方程： （1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7) 适时应用“两点确定一条直线” 【练习】过点 M(0,1) 作直线 l ，使他被两条已知直线 l 1 : x—3y +10和l 2 : x + y + 4 = 0 所 截得的线段 AB 被点 M 平分.求直线 l 的方程. 【例 12】1、已知点 A（3,3）和直线 l ： 2 5 4 3 y = x — .求： （1）经过点 A 且与直线 l 平行的直线方程； （2）经过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程. 2、已知三角形三个顶点的坐标分别为 A（—1,0），B（2,0），C（2,3），试求 AB 边上的高的 直线方程.(思考：如果求 AB 边上的中线、角平分线呢？） 【例 13】已知直线 l 的斜率为 2，且 l 和两坐标轴围成面积为 4 的三角形，则直线 l 的方程为 ________________．