第一章线性规划与单纯形法34r:5令非基变量2==0，得7T4L从而得到一个基可行解342+7×-(3))T,2=2X,0.0,55555因为P2、P：线性独立，故有32-=8-2+42-6=3+-745T216令非基变量==0，得713=16从而得到一个基可行解457×1+4×1-163X4 =(0,16160,2=3161616因为P2、P,线性独立，故有32-4=8-2+2r+7r4=3+r+6rs68r29令非基变量=3=0.得7T429从而得到二个基本解681X(5) =(0,.0,'29297因为=<0，所以该解是非可行解。29③因为Ps、P.线性独立，故有s—4=8-2-3r2—6r+7,-3+-226831令非基变量1=3=0.得45r=31从而得到一个基本解68_45)x(6)-(0.0,31316845<0，所以该解是非可行解。因为工<o.r.3131.11734为最大值，故最优解为X=X(3）=.0.0比较21，23，24，可知2355:11
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运筹学同步辅导及习题全解1177.-)T，目标函数最优值为S12(2)易知，的系数列向量P,=，32的系数列向量P2=，rs的系数列向量P：一[2]134r4的系数列向量P,=121①因为PI、P2线性独立，故有(+2r2=7-3r3—4r2+=3-—21=3令非基变量=14=0，得1112=3从面得到二个基本解111X()=(-.0.0)T3'31因为i=<0.所以该解是非可行解。3②因为P.、P，线性独立，故有+3=7-22—42+=3--22zia5令非基变量2==0，得。11rs5从而得到二个基可行解11X(2)=(2211_43.0.号0)T，22=5×+3×号=号55因为PI、P.线性独立，故有+4r=7—22—3r2+2,3—2-s1223令非基变量2-3=0，得112-6从而得到一个基本解X(3)=(-.0,031<0，所以该解是非可行解。因为=①因为P2、P线性独立，故有.12
0123456789:; ? ;"3$%&’(}B;4!2 *!!? ; ’ !#"c$&! p7(¿$ ,!*- . / 0 ! # $&# p7(¿$ ,#*- . / 0 # ! $&$ p7(¿$ ,$* - . / 0 $ ! $&/ p7(¿$,/*- . / 0 / # ! Q4,!,# MN$ij &!2#&#*?8$&$8/&/ *#&!2&#*$8&$8#&/ b´q#$&$*&/*+$¸ &!*8! $ &#* % !! & ’ $ Õ¸-qrF 1!!" *!8! $$!! $$+$+"3 Q4&!*8! $1+$µZ/F¥´YF’ " Q4,!,$ MN$ij &!2$&$*?8#/&/ *#&!2&$*$8#&/ b´q#$&#*&/*+$¸ &!*# ; &$* % !! & ’ ; Õ¸-qYF 1!#" *!# ;$+$!! ;$+"3$!#*;:# ;2$:!! ;*/$ ; # Q4,!,/ MN$ij &!2/&/*?8#$&$ *#&!2#&/*$8&$ b´q#$&#*&$*+$¸ &!*8! $ &/* % !! & ’ = Õ¸-qrF 1!$" *!8! $$+$+$!! ="3 Q4&!*8! $1+$µZ/F¥´YF’ $ Q4,#,$ MN$ij (!"(
第一章线性规划与单纯形法22+37--42+3-21-2[2 =2令非基变量==0,得rg =1从而得到一个基可行解X4=(0,21.0)T,24=-2X2+3X1=—1因为P2、P，线性相关，故12，不能构成基变量。?因为P3P，线性独立，故有3+4-7--22+2=3-22令非基变量2:=:=0,得/-1z,=1从而得到一个基可行解X(6)=(0,0,1,1)T,z6=3X 1+(-6)X1=-34311为最大值，故最优解为X=X(2)=（%，0)T，目标比较22，2，26，可知22.0.555函数最优值为=435.@1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形上哪一个顶点。(1)max=2ri+r2(2)max=2+512≤4(3+5≤15X1s.t.6+2r2422≤12s.t..3+2≤181≥012≥0图1-6分析对单纯形表的每次迭代要认真计算。.13
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运筹学同步辅导及习题全解解（1)解1：图解法。图1一3中的阴影区域为可行域，可见目标函数之=2r十工2在点A，处达到最3+5=155可知A的坐标为(),所以X"-(，%)，大，求解方程组44446+2=242=2×15+3_33444解2：单纯形法。在上述问题的约束条件中分别加入松弛变量工3，工，得该线性规划问题的标准型max2=2r,+a2+0rs+0r=153r+51+rss.t.J6r1+2r2+r=24,≥0由线性规划问题的标准型可列出初始单纯形表逐步选代，计算结果如下表所示。表1-42100cj0;CaXsba1X2T4-T301535105t30[6]201424341002cj -z;030[4]11/23/4t32411/301/612f01/301/3cj-zj0113/41/4-1/84202115/4-1/125/24t00-1/12-7/24cj-z,15+3-33153单纯形表的计算结果表明：X,0,0)T,2"=2X444744单纯形表选代的第一步得X(0)=（0，0，15，24）T，表示图中原点（0，0）。单纯形表迭代的第二步得X1)=（40,30)T，表示图中A，点。单纯形表选代的第三步得X(2)=(15.3，0.0)T，表示图中A2点。4′4（2）解1：图解法。图1一7中的阴影区域为可行域，可见目标函数=2ri十5r在点A，处达到最3r,+2x,=18可知A，的坐标为（2,6）大，求解方程组2r,=12所以X=(2,6)T,=2X2+5X6-34解2：单纯形法。在上述问题的约束条件中加人松弛变量工，工，工，得该线性规划问题的标准型.14
0123456789:; ; !!"F!#EFG’ E!8$3p"4Y$Y%&’(!*#&! 2&# \D 7# ¦} ä$LFø $&!2;&#*!; *=&!2#&#*#/ Y7# p&4!!; /$$ /"$µZ 12 *!!; /$$ /"3$ !2 *#:!; /2$ /*$$ / F##I/G’ \_;PQp)*+,3àUÝç¨#$&$$&/$¸/MN@OPQp&<= %&’!*#&!2+&$2+&/ ,"-" $&!2;&$ *!; =&!2#&# 2&/*#/ &!$&#$&$$&/$ % & ’ + gMN@OPQp&<=Y¿wI/¯ ¢$¹º©%$¾¯µ’ ¯!8/ %# # ! + + 98 18 ) &! &# &$ &/ "( + &$ !; $ ; ! + ; + &/ #/ /=0 # + ! / %#8!# # ! + + + &$ $ + //0 ! 8!-# $-/ # &! / ! !-$ + !-= !# %#8!# + !-$ + 8!-$ ! &# $-/ + ! !-/ 8!-> # &! !;-/ ! + 8!-!# ;-#/ %#8!# + + 8!-!# 8?-#/ I/¯p¹º©%¯é#12 *!!; /$$ /$+$+"3$!2 *#:!; /2$ /*$$ / I/¯¢pÒ- ¸ 1!+" *!+$+$!;$#/"3$¯E3sD!+$+"’ I/¯¢pÒg ¸ 1!!" *!/$+$$$+"3$¯E37! D’ I/¯¢pÒE ¸ 1!#" *!!; /$$ /$+$+"3$¯E37# D’ !#"F!#EFG’ E!8?3p"4Y$Y%&’(!*#&! 2;&# \D 7$ ¦} ä$LFø $&!2#&#*!> *#&#*!# Y7$ p&4!#$=" µZ 12 *!#$="3$!2 *#:#2;:=*$/ F##I/G’ \_;PQp)*+,3Ýç¨#$&$$&/$&;$¸/MN@OPQp&<= (!$(
第一章线性规划与单纯形法图 1-7max=2r+5r+0r+0+0rs[3+r=42r2+r,=12s.t.3r+2x2+rg=181.≥0由线性规划问题的标准型可列出初始单纯形表逐步迭代，计算结果如表1一5所示。表1-525000c0;5CaXa.1.2tsT4s10IO04一3612O[2]1O140901832O01ts5O2OOcj = 2j010044113560100一1/2126[3]O120O-1ts200-5/20c, -2jO20011/31/33561O001/242221OO1/3-1/32000-11/62/3cj-zi单纯形表的计算结果表明：X=（2.62.0.0）T，*=2×2+5×6=34单纯形表迭代的第一步得X(0)=（0,0,4,12,18)T，表示图中原点（0,0)。单纯形表送代的第二步得X1)=（0，6，4，0.6)T表示图中A点。单纯形表选代的第三步得X2)=（2,6.2.00)T，表示图中A：点。小结单纯形法是求解线性规划问题最有效的方法之一，要求熟练掌握。01.55以1.4题（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样改变时，使满足约束条件的可行域的每一个顶点，都有可能使目标函数值达到最优。-α+k+，其中k=-解由目标函数max=ci1十c21可得：12一C2C2C2C2（1）当k>0时，若c2>0.则目标函数在As点（0，3)取得最大值；若c2<0，则目标函·15
A*B !"#$%&’() E!8? %&’!*#&!2;+&$2+&/2+&; ,"-" &!2&$*/ #&/*!# $&!2#&;*!> &!$&#$&$$&/$&;$ % & ’ + gMN@OPQp&<=Y¿wI/¯ ¢$¹º©%$¯!8;µ’ ¯!8; %# # ; + + + 98 18 ) &! &# &$ &/ &; "( + &$ / ! + ! + + ) + &/ !# + /#0 + ! + = + &; !> $ # + + ! < %#8!# # ; + + + + &$ / ! + ! + + / ; &# = + ! + !-# + ) + &; = /$0 + + 8! ! # %#8!# # + + 8;-# + + &$ # + + ! !-$ 8!-$ ; &# = + ! + !-# + # &! # ! + + 8!-$ !-$ %#8!# + + + 8!!-= 8#-$ I/¯p¹º©%¯é#12 *!#$=$#$+$+"3$!2 *#:#2;:=*$/ I/¯¢pÒ- ¸ 1!+" *!+$+$/$!#$!>"3$¯E3sD!+$+"’ I/¯¢pÒg ¸ 1!!" *!+$=$/$+$="3$¯E37/ D’ I/¯¢pÒE ¸ 1!#" *!#$=$#$+$+"3$¯E37$ D’ OP I/G¥LFMN@OPQ}jªpGë-$:L«¬®’ *!$& Z!B/Q!!"4¯$°èéh%&’(3#$p7(±J²#R$Ñõö)*+ ,pYp+-©D$çjY0Ñ%&’(;}B’ ; g%&’( %&’!*%!&!2%#&# Y¸#&#*8%! %# &!2! %# *+&!2! %# $23+*8%! %# !!"h+(+R$¢%#(+$¤%&’(\7$ D!+$$"a¸}ä;&¢%#1+$¤%&’ (!%(