运筹学同步辅导及习题全解线平移到C点时，如果继续向上移，就离开了可行域，而且此时等值线的最佳位置与可行域边界CB重合。因此C点、B点以及线段CB上所有的点，都是使目标函数值达到最大值的点，是最优解。求得C点Xc=（2.3）T与B点X：=（4,2）T，此时求得max=16。目标函数2=2ri十4r2的通解可表示为X=aXc十（1-a）XB.0≤a≤1。历年考研真题评析【题】（2005年华南理工大学）设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。现有5种饲料可供选择，每种饲料每公斤营养成份的含量及单价如下表所示：试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用饲料方案的线性规划模型。表 1-1饲料蛋白质（克）矿物质（克）维生素（毫克）价格（元/公斤）1310.50.2220.510.7310.20.20.464220.35180.50.80.8解题分析这是一道较简单的数学规划模型问题，根据题意写出约束即可。min=0.2r+0.7r2+0.4rs+0.3r4+0.8rs解题过程3r,+2x,++6+18≥700ri+0.5r2+0.2r+2r4+0.5r≥30s.t.0.5r+2+0.2xs+2r+0.8r5≥1000课后习题全解01.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解？(1)max2=r+3r2(2)minz=r+1.525+10≤50+3≥3+≥1s.t.3+ ≥2s. t.12≤4,≥02≥0(3)max=2ri+2r2(4)max2=ri+r2-≥-1≥0-0.5+≤2s.t.3-≤-3s.t.>02≥0解（1）图1-2中的阴影部分为此线性规划问题的可行域，目标函数=十32，即r2.6
0123456789:; M]9 DR$$%òó_$ijoY$ÕkbRZ;Mp}l mn¨Y98 ×o’Qb9 D,8 DZ¬MÜ98 _µjpD$ç¥ Ñ%&’(;}ä;pD$¥}BF’ L¸9 D!9*!#$$"3 ¨8 D!8 *!/$#"3$bRL¸ %&’!*!=’%&’( !*#&!2/&# ppFY¯4!*’!92!!8’"!8$+#’#!’ -./01(23 "9# !#++;qrst5äV"÷yft+uîT:?++vwxy,$+vzty,!++ {vh.Ì’|j;y}~YO$+y}~+áRp $¬I:$¾ ¯µ# Bõöft.T:$Ñ@e}pe}~pMN@OW=’ ¯!A! }~ wxy!v" zty!v" h.Ì!{v" :!Ë-" ! $ ! +"; +"# # # +"; ! +"? $ ! +"# +"# +"/ / = # # +"$ ; !> +"; +"> +"> ;9KL ï¥-HIp(V@OW=PQ$ÀÁQþw)*Y’ ;9MN %()!*+5#&!2+5?+5/&$2+5$&/2+5>&; ,"-" $&!2 # &$2=&/2 !>&;$?++ &!2+5;+5#&$2#&/2+5;&;$$+ +5;&!2 +5#&$2#&/2+5>&;$!++ &!$&#$&$$&/$&;$ % & ’ + 456(7* * !$! eEFGLF¾¿MN@OPQ$ÔwPQ¥j|-}BF,~}BF, ~FW¥~YF. !!"%&’!*&!2$&# !#"%()!*&!2!B;&# ,"-" ;&!2!+&##;+ &!2 &#$! &##/ &!$&#$ % & ’ + ,"-" &!2$&#$$ &!2 &#$# &!$&#$ % & ’ + !$"%&’!*#&!2#&# !/"%&’!*&!2&# ,"-" &!8&#$8! 8+B;&!2&### &!$&#$ % & ’ + ,"-" &!8&#$+ $&!8&##8$ &!$&#$ % & ’ + ; !!"E!8#3pà4bMN@OPQpY$%&’(!*&!2$&#$&# (&(
第一章线性规划与单纯形法1+号是斜率为一的一族平行线，易知21=3,22=0为可行解，由线性3规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得，将直线31十332=3沿其法线方向逐渐向上平移，直至A点，A点坐标为（2,4）。图1—2所以max=2+3X4=14此线性规划问题有惟一最优解。（2）图1一3中的阴影部分为此线性规划问题的可行域，目标函数之=7十1.52，即一号α+号一是斜率为一卡的一族平行线，易知=3，32=0为可行解，由12=3线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得。将直线1十1.5r2=3沿其法线方向逐渐向下平移，直至B点，B点坐标为3.1(2)31+1.5×1=9所以min224此线性规划问题有惟一最优解。图1-3（3）图1一4中阴影部分为线性规划问题的可行域，目标函数=21十2r2，即号是斜率为一1的一族平行线，易知=0,2=0为可行解。在将12=-1,+-2直线21十2r2=0沿A其法线方向逐渐向上平移的过程中发现：目标函数的值可以增加到无穷大。故此线性规划问题为无界解。.7
A*B !"#$%&’() *8! $&!2! $¥[\48! $p-‘]M$c&!*$$&#*+4YF$gMN @OpNy$2};\Yp©Da¸$UJM&!2$&#*$2GM _]$J7 D$7 D&4!#$/"’ E!8# µZ %&’!*#2$:/*!/ bMN@OPQj|-}BF’ !#"E!8$3pà4bMN@OPQpY$%&’(!*&!2!B;&#$ &#*8# $&!2# $!¥[\48# $p-‘]M$c&!*$$&#*+4YF$g MN@OpNy$2};\Yp©Da¸’ UJM&! 2!B;&# *$ 2 G M ¾ ] $J 8 D$8 D & 4 $ #! $ "! # µZ %()!*$ #2!B;:! #*< / bMN@OPQj|-}BF’ E!8$ !$"E!8/3à4MN@OPQpY$%&’(!*#&!2#&#$ &#*8&!2! #¥[\48!p-‘]M$c&!*+$&#*+4YF’\U JM#&!2#&#*+7 2GM_]p5ø3|#%&’(p; YZAÝ~ä’ibMN@OPQ4~F’ (’(
运筹学同步辅导及习题全解图1-4图1-5（4）如图1一5所示，此问题的可行域为空集，故此线性规划问题无可行解。01.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。(1)minz=-3r+4r2-2rs+5r44—+2-,=2++3-≤14s.t..—2+3+2≥2≥0无约束(2)maxs=z/pkTauta2=台台-r=-1(i=1,"",n)2≥0(i-l,...,n;k-1,,m)分析本题考查了线性规划问题的标准形式和初始单纯形表。解（1）将此线性规划问题化为标准型。令=—6,2=2其中≥0max2=一min(一)=一min之所以则得到标准型为max=3r,-4r+2r-5(xs-)+0.,+0·rs-Mrg-Mr10.8
0123456789:; E!8/ E!8; !/"$E!8;µ$bPQpY4§$ibMN@OPQ~YF’ +!$" U¾¿MN@OPQ#Âá&<=$Ô¿wI/¯’ !!"%()!*8$&!2/#&$2;&/ ,"-" /&!8#&$8&/*8# &!2$&$8&/#!/ 8#&!2$&$2#&/$# &!$&#$&$$+$&/ % & ’ ~)* !#"%&’4*!+-;+ !+* " " ($! " * +$! ’(+&(+ " * +$! 8&(+*8! !(*!$%$"" &(+$+ !(*!$%$"&+*!$%$* % & ’ " KL rQFoMN@OPQp&</03I/¯’ ; !!"UbMN@OPQX4&<=’ b&/*&;8&=$!<*8! 23&;$&=$+ µZ %&’!<*8%()!8!<"*8%()! ¤¸&<=4 %&’!<*$&!8/#&$8;!&;8&="2+(&?2+(&>8/&<8/&!+ (((
第一章线性规划与单纯形法=24+-2+-+1o=14a++3-+a+s.t.—2+32—+2—2—g+g=21g,19,1≥0其中M是一个任意大的正数。初始单纯形表见表1一2。表1-22-553-400-M-Mc→0XBCB611243Ls.62T891012-M2-41-2-10001T10111140143-110007[3]2-2-120-11-M-2092-34M36M4M-43M-55-3M0-M002-3M（2）在上述问题的约束条件中加入人工变量量r.12.,.得117asra-Mri-Mr2-.-Mr.max sN2PEi-1=12=1(i=1,2,...,n)+s. t.(i1,2,...,n;k-1,2....,m)>0.≥0其中M是一个任意大的正数。初始单纯形表见表1一3。表 1-3a11a12a1maataam--M...cjpEpEPEpEp:p0XaCB..XalXaz.bx1x2.as11X12X1mTm"0011100-M10000.00.00-M0X2..：：主1：...::1....1::..+0011-M10010.1.Tl+MQ12+Mal+Malm+Ma+Maa+MnM00PEPxPEPEPEPi9
A*B !"#$%&’() ,"-B 8/&!2 #&$2 &;8 &=2&!+ *# &!2 $&$8 &;2 &=2&? *!/ 8#&!2$ &$2#&;8#&=8&>2&<*# &!$&#$&$$&;$&=$&?$&>$&<$&!+$ % & ’ + 23 / ¥-þäpí(’ I/¯¯!8#’ ¯!8# %#, $ 8/ # 8; ; + + 8/ 8/ 98 18 ) &! &# &$ &; &= &? &> &< &!+ " 8/ &!+ # 8/ ! 8# ! 8! + + + ! # + &? !/ ! ! $ 8! ! ! + + + !/ 8/ &< # 8# /$0 8! # 8# + 8! ! + 8!< // $8=/ //8/ #8$/ $/8; ;8$/ + 8/ + + # $ !#"\_;PQp)*+,3ÝÃÞ5#$&!$&#$%$&"$¸ %&’4*! ;+ " " ($! " * +$! ’(+&(+8/&!8/%8/&" ,"-B &(2 " * +$! &(+*! !(*!$#$%$"" &(+$+$&($+ !(*!$#$%$"&+*!$#$%$* % & ’ " 23 / ¥-þäpí(’ I/¯¯!8$’ ¯!8$ %# 8/ 8/ % 8/ ’!! ;+ ’!# ;+ % ’!* ;+ % ’"! ;+ ’"# ;+ % ’"* ;+ 98 18 ) &! &# % &" &!! &!# % &!* % &"! &"# % &"* " 8/ &! ! ! + % + ! ! % ! % + + % + 8/ &# ! + ! % + + + % + % + + % + 1 1 1 1 1 % 1 1 1 % 1 1 1 1 % 1 1 1 1 1 1 % 1 1 1 % 1 1 1 1 % 1 8/ &" ! + + % ! + + % + % ! ! % ! 84 "/ + + % + ’!! ;+ 2/ ’!# ;+ 2/ % ’!* ;+ 2/ % ’"! ;+ 2/ ’"# ;+ 2/ % ’"* ;+ 2/ ()(
运筹学同步辅导及习题全解O1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解，指出哪些是基可行解，并代人目标函数，确定哪一个是最优解。(1)max=2r,+3+4rs+7r2+3--4-8—22+6r7=—3s. t.<≥0(2)max=5r,—2rz+3r-6+2+3+4=72+++24=3s.t.30分析本题考查了线性规划问题的基本解的计算。解（1）在第二个约束条件两边同时乘以一1，则第二个约束条件转化为ri+2r-6x+7x=323从而，的系数列向量Pi=,工2的系数列向量P2,xs的系数列向量21，r.的系数列向量P,Ps=-6①因为Pi、P，线性独立，故有2,+32=8++4r+2=3+6-7[3, =1令非基变量3==0，得r2=2从而得到一个基本可行解X(1)=(1,2,0,0)T,2=2×1+3X2=8②因为Pi、P：线性独立，故有2—=8-3+4rx—6=3-2—7[2]=4513令非基变量=1=0，得=—14r3=13从而得到一个基本解x(2)=(45.0, -14,01313<0,所以该解是非可行解。因为工13③因为Pi、P,线性独立，故有24=8-3+s—+7=3—2+6r3.10
0123456789:; +!$# \¾^pMN@OPQ3wõö)*+,pµjqF$wLM¥qYF$ ÔÃ%&’($®kL-¥}BF’ !!"%&’!*#&!2$/&$2?&/ ,"-" #&!2$ &$8/&/*> &!8#=&$8?&/*8$ &!$&#$&$$&/$ % & ’ + !#"%&’!*;&!8#$&$8=&/ ,"-" &!2#$&$2/&/*? #&!2  &$2#&/*$ &!$&#$&$$&/$ % & ’ + KL rQFoMN@OPQpqrFp¹º’ ; !!"\Òg)*+,ÚRZ8!$¤Òg)*+,½X4 8&!2#=&$2?&/*$ Õ$&! p7(¿$,!*- # . / 8!0 $&# p7(¿$,#*- . / 0 $ # $&$ p7(¿$ ,$*-8! . / 8=0 $&/ p7(¿$,/*-8/ . / ?0 ’ ! Q4,!,# MN$ij #&!2$&#*>2&$2/&/ *8&!2#&#*$2=&$8?&/ b´q#$&$*&/*+$¸ &!*! *&#*# Õ¸-qrYF 1!!" *!!$#$+$+"3$!!*#:!2$:#*> " Q4,!,$ MN$ij #&!8&$*>8$/&/ *8&!8=&$*$8#?&/ b´q#$&#*&/*+$¸ &!*/; !$ &$*8 % !/ & ’ !$ Õ¸-qrF 1!#" *!/; !$$+$8!/ !$$+"3 Q4&$*8!/ !$1+$µZ/F¥´YF’ # Q4,!,/ MN$ij #&!8/&/*>8$&$ *8&!2?&/*$8#=&$ (!*(