中国科学技术大学：《高中数学》课程教学资源（讲义）高中数学基本观念

高中数学基本观念拙作作者：Xuxuayame组织：双叶数理咖啡厅教理力厅时间：April10,2022BANATPATICALCAFT版本：0.1illustrator：犬A道阻且长，行则将至。行而不锻，未来可期

高中数学基本观念 拙作 作者：Xuxuayame 组织：双叶数理咖啡厅 时间：April 10, 2022 版本：0.1 illustrator：捨て犬 A 道阻且长，行则将至。行而不辍，未来可期

目录1第一部分必修2第一章数学基础21.1集合与逻辑初步21.1.1集合的基本定义1.1.2逻辑基础481.1.3集合间的关系与运算131.2映射：131.2.1映射的基本概念161.2.2映射的复合理咖啡方171.2.3满射，单射，双射与逆映射CALCAFE191.2.4集合值映射201.3数列与极限初步201.3.1数列的定义211.3.2等差数列与等比数列小331.3.3数列的性质351.3.4递推数列1.3.5数列的极限41471.3.6Stolz定理501.4向量，复数与极坐标系511.4.1向量1.4.2复数591.4.3极坐标系63641.5求和与求积641.5.1求和求积的基本概念661.5.2求和的常见公式69第一章练习75第二章函数752.1函数概念与性质752.1.1函数的概念与表示2.1.2函数的性质77832.2初等函数832.3微积分初步832.3.1导数及其应用2.3.2不定积分100

目录 第一部分 必修 1 第一章 数学基础 2 1.1 集合与逻辑初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 集合的基本定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 逻辑基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 集合间的关系与运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 映射的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 映射的复合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 满射, 单射, 双射与逆映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 集合值映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 数列与极限初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 数列的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 等差数列与等比数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 数列的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.4 递推数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.5 数列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.6 Stolz 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.4 向量, 复数与极坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4.1 向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.4.2 复数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4.3 极坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5 求和与求积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.5.1 求和求积的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.5.2 求和的常见公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 第一章 练习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 第二章 函数 75 2.1 函数概念与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.1.1 函数的概念与表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.1.2 函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2 初等函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3 微积分初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.1 导数及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.2 不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

目录1142.3.3浅探定积分2.4不等式简述114115第三章解析几何1153.1直线1153.2圆锥曲线与参数方程3.3空间解析几何115116第四章立体几何4.1立体几何公理116117第五章概率统计与计数原理1175.1统计5.2概率1171175.3计数原理汉叶数理咖啡方1175.4排列与组合ATHEMATICALCAFE1175.5随机变量及其分布5.6成对数据的统计分析117第二部分选修118MAT120第六章数学拓展1206.1关系1206.1.1关系的概念1216.1.2等价关系与序关系6.1.3运算1271296.2自然数与数学归纳法6.2.1Peano公理1301346.2.2加法1386.2.3乘法1396.2.4补充1466.3实数的构造与公理化1466.3.1整数与有理数1636.3.2实数的构造1786.4无穷级数1786.5线性空间178第六章练习182第七章集合论初步7.1有限集·1821827.2可数集与不可数集B

目录 2.3.3 浅探定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.4 不等式简述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 第三章 解析几何 115 3.1 直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.2 圆锥曲线与参数方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.3 空间解析几何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 第四章 立体几何 116 4.1 立体几何公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 第五章 概率统计与计数原理 117 5.1 统计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3 计数原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4 排列与组合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.5 随机变量及其分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.6 成对数据的统计分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 第二部分 选修 118 第六章 数学拓展 120 6.1 关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.1 关系的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.2 等价关系与序关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.1.3 运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 自然数与数学归纳法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.1 Peano 公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.2 加法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.2.3 乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.4 补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3 实数的构造与公理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.1 整数与有理数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3.2 实数的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.4 无穷级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.5 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 第六章 练习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 第七章 集合论初步 182 7.1 有限集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2 可数集与不可数集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 B

目录1827.3递归原理1827.4无限集与选择公理7.5良序集1821827.6最大值原理7.7补充练习：良序化182183第八章函数1838.1函数的连续性1838.1.1函数极限1848.1.2函数的连续性1848.1.3闭区间上的连续函数1848.2微分中值定理1848.3LHospital法则1848.4Taylor定理1848.5微积分基本定理又叶数理咖啡厅1848.6常微分方程初步TICALCAFE1848.7多变量函数初步8.8复变函数初步184MATHEMAT185第九章不等式186第十章解析几何10.1线性代数初步18618610.2仿射变换187第十一章概率论与数理统计11.1概率密度函数187188第十二章代数学基础18812.1整除理论18812.1.1整除19412.1.2素数与算术基本定理19712.2群环域初步12.2.1群19812.2.2环与域20120112.3同余20112.4群论初步12.5多项式20112.6对称群20120112.7素数域上的算术201第十二章练习c

目录 7.3 递归原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.4 无限集与选择公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.5 良序集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.6 最大值原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.7 补充练习：良序化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 第八章 函数 183 8.1 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.1.1 函数极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.1.2 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.1.3 闭区间上的连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2 微分中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.3 L’ Hospital 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.4 Taylor 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.5 微积分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.6 常微分方程初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.7 多变量函数初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.8 复变函数初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 第九章 不等式 185 第十章 解析几何 186 10.1 线性代数初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.2 仿射变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 第十一章 概率论与数理统计 187 11.1 概率密度函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 第十二章 代数学基础 188 12.1 整除理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.1.1 整除 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.1.2 素数与算术基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 12.2 群环域初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.2.1 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.2.2 环与域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.3 同余 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.4 群论初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.5 多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.6 对称群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.7 素数域上的算术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 第十二章 练习 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 C

袋一部么MENATEALAE双叶数理MATHEMATFUTABAI

第一部分 必修