运筹学同步辅导及习题全解数在A：点（4，0）取得最大值。o（2）当-<k<0时，若c>0，则目标函数在A，点（0,3)取得最大值；若c2<0，则5目标函数在原点（0，0)取得最大值。3（3）当-3<k<时，若cz>0，则目标函数在Az点（15/4，3/4）取得最大值；若5C2<0,则目标函数在原点（0,0)取得最大值。（4）当k<一3时，若c2>0.则目标函数在A1点（4，0）取得最大值：若c2<0，则目标函数在原点（0，0)取得最大值。01.6分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下述线性规划问题，并指出属哪一类解。(1)maxz=2r+3rz-5rs++=72-5+≥10s.t.3,,≥0(2)minz=2i+32+1sT+4+2rs≥831+2x2≥6s.t.3≥0（3）max=10xi+15x2+12r35i+3r+≤9-5r+6+15≤152++≥51≥0(4)max=2ri-r2+2rs6-2r1+r≥2s, t..22≥00分析本题考查了单纯形法中的大M法，两阶段法以及解的类型的概念。解（1）解1：大M法。在上述线性规划问题的约束条件中加上人工变量14，6，减去剩余变量5，得max=2r+3r2-5r:—Mr4+0rs-Mre=7+++r25+-s+=10s.t.0其中M是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表表1一6：.16
0123456789:; (\7! D!/$+"a¸}ä;’ !#"h8$ ;1+1+R$¢%#(+$¤%&’(\ 7$ D!+$$"a¸}ä;&¢%#1+$¤ %&’(\sD!+$+"a¸}ä;’ !$"h8$1+18$ ;R$¢%#(+$¤%&’(\7# D!!;-/$$-/"a¸}ä;&¢ %#1+$¤%&’(\sD!+$+"a¸}ä;’ !/"h+18$R$¢%#(+$¤%&’(\7! D!/$+"a¸}ä;&¢%#1+$¤%& ’(\sD!+$+"a¸}ä;’ 3!5’ àUeI/G3pä / G3ÚÛÜGLF¾;MN@OPQ$ÔwNL-³ F’ !!"%&’!*#&!2$&$ ,"-" &!2 &$*? #&!8;&$$!+ &!$&#$&$$ % & ’ + !#"%()!*#&!2$&$ ,"-" &!2/#&$ $> $&!2#&# $= &!$&#$&$$ % & ’ + !$"%&’!*!+&!2!;!#&$ ;&!2$ &$#< 8;&!2=!;&$#!; #&!2  &$$; &!$&#$&$$ % & ’ + !/"%&’!*#&!8#&$ ,"-" &!2&# 2&$$= 8#&! 2&$$# #&# 8&$$+ &!$&#$&$$ % & ’ + KL rQFoI/G3pä / G$ÚÛÜGZ¬Fp³=p´µ’ ; !!"F!#ä / G’ \_;MN@OPQp)*+,3Ý_Þ5#$&/$&=$¶ñ·Ó#$&;$¸ %&’!*#&!2$&$8/&/2+&;8/&= ,"-" &!2 &$2&/ *? #&!8;&$ 8&;2&=*!+ &!$&#$&$$&/$&;$&=$ % & ’ + 23 7 ¥-þäpí(’ÁbY¿wI/¯¯!8=# (!&(
第一章线性规划与单纯形法表 1-623-5-M0cj-M0:XCBba1x2t324tst67711110-M140[2] 10I510-M-5-126003M+2-Mgj-3j3-4M2M-5-M21/214/7O[7/2]1/21/22425015/21/21/21/2x1-003M/2+8M/2-6M/2+13M/2-1cj-sj34/7011/72/71/71/7X2245/7106/75/71/7111/7O050/7-M-16/7-1/7-M+1/7cj-sj由单纯形表的计算结果得：454，0.00.0)，目标函数的最优值=2×+3×号-1%最优解X'=(7777解2：两阶段法。先在上述线性规划问题的约束条件中加人工变量，16，减去剩余变量5，得第一阶段的数学模型min w-r,+r=7+++2—5+rs—+=10s, t.3(2..0据此可列出单纯形表表1一7：表1-7O0I001cj0:CnXbtet1x2x324Xs717111100141[2] 10I510-5-126-34-2010cj-j1120[7/2]1/21/21/24/72405101/21/25/21/2x1-007/21/21/23/2cj-zj004/711/72/71/71/7x21006/75/71/71145/71/7O00101cj-zj454第一阶段求得的最优解X*一，0.0，0.0)T，目标函数的最优值w=0。77因人工变量=。=0,所以(,4，0，0，0.0）T是原线性规划问题的基可行解。7'7· 17
A*B !"#$%&’() ¯!8= %# # $ 8; 8/ + 8/ 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= "( 8/ &/ ? ! ! ! ! + + ? 8/ &= !+ /#0 8; ! + 8! ! ; %#8!# $/2# $8// #/8; + 8/ + 8/ &/ # + /?-#0 !-# ! !-# 8!-# /-? # &! ; ! 8;-# !-# + 8!-# !-# ) %#8!# + $/-#2> /-#8= + /-#2! 8$/-#8! $ &# /-? + ! !-? #-? !-? 8!-? # &! /;-? ! + =-? ;-? 8!-? !-? %#8!# + + 8;+-? 8/8!=-? 8!-? 8/2!-? gI/¯p¹º©%¸# }BF 12 *!/; ?$/ ?$+$+$+$+"3$%&’(p}B;!2 *#:/; ?2$:/ ?*!+# ? ’ F##ÚÛÜG’ ¸\_;MN@OPQp)*+,3ÝÃÞ5#$&/$&=$¶ñ·Ó#$&;$¸ Ò-ÛÜp(VW= %().*&/2&= ,"-" &!2 &$2&/ *? #&!8;&$ 8&;2&=*!+ &!$&#$&$$&/$&;$&=$ % & ’ + ÁbY¿wI/¯¯!8?# ¯!8? %# + + + ! + ! 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= "( ! &/ ? ! ! ! ! + + ? ! &= !+ /#0 8; ! + 8! ! ; %#8!# 8$ / 8# + ! + ! &/ # + /?-#0 !-# ! !-# 8!-# /-? + &! ; ! 8;-# !-# + 8!-# !-# ) %#8!# + 8?-# 8!-# + 8!-# $-# + &# /-? + ! !-? #-? !-? 8!-? + &! /;-? ! + =-? ;-? 8!-? !-? %#8!# + + + ! + ! Ò-ÛÜL¸p}BF 12 *!/; ?$/ ?$+$+$+$+"3$%&’(p}B; .2 *+’ QÞ5#$&/*&=*+$µZ!/; ?$/ ?$+$+$+$+"3 ¥sMN@OPQpqYF’ (!’(
运筹学同步辅导及习题全解于是可以进行第二阶段运算，将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填人原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见表1一8。表1-823-50cj0:CeXb4112x3rs34/7011/71/712245/7106/7-1/7x100-50/7-1/7cj-zj454由表中计算可知，原线性规划问题的最优解X*，00，0，0）T，目标函数451024的最优值*=2×+3X7a1（2）解1：大M法。在上述线性规划问题的约束条件中减去剩余变量r4，5，再分别加上人工变量，37，得min=2ri+3r2+rs+0r+0rs+Mr+Mr7+16=8+4+2-+r.=63+22s.t.-r5,,g,a≥0其中M是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表表1一9：表1-93N100MMcj0CBXBbr1x2rrsr6r724M81[4]20102-12637M6.200-1013MM002-4M3-6M1-2Mj-2ia0081/411/21/41/43X2M2[5/2]14/5X0-11/2-11/21号M-F-号M1210M-NM0cj-zj27%29/513/51/103X203/101/103/1024/50-2/51/52/51/52/5r100o1/21/2M-1/2M-1/2cj-zj94.由单纯形表的计算结果得：最优解X*，0，00，0.0)T，目标函数的最优5A942+3×值*=2×=7。X存在非基变量检验数3=0.故该线性规划问题有55无穷多最优解。解2：两阶段法。先在上述线性规划问题的约束条件中减去剩余变量工4，15，再分别加上人工变量工6，7，得第一阶段的数学模型minw=r+r.18
0123456789:; f¥YZÍÒgÛÜɺ$UÒ-ÛÜp}Ù¯3pÞ5#$a¹$ÔºÃs PQp%&’(p7($ÍÒgÛÜpɺ$¯!8>’ ¯!8> %# # $ 8; + 98 18 ) &! &# &$ &; "( $ &# /-? + ! !-? !-? # &! /;-? ! + =-? 8!-? %#8!# + + 8;+-? 8!-? g¯3¹ºY$sMN@OPQp}BF 12 *!/; ?$/ ?$+$+$+$+"3$%&’( p}B;!2 *#:/; ?2$:/ ?*!+# ? ’ !#"F!#ä / G’ \_;MN@OPQp)*+,3¶ñ·Ó#$&/$&;$ÄàUÝ_Þ5#$&=$&?$¸ %()!*#&!2$&$2+&/2+&;2/&=2/&? ,"-" &!2/#&$8&/ 2&= *> $&!2#&# 8&; 2&? *= &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$ % & ’ + 23 / ¥-þäpí(’ÁbY¿wI/¯¯!8<# ¯!8< %# # $ ! + + / / 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? "( / &= > ! //0 # 8! + ! + # / &? = $ # + + 8! + ! $ %#8!# #8// $8=/ !8#/ / / + + $ &# # !-/ ! !-# 8!-/ + !-/ + > / &? # /;-#0 + 8! !-# 8! 8!-# ! /-; %#8!# ; / 8 ; # / + /8 ! # $ / 8 ! # / / $ # /8 $ / + $ &# <-; + ! $-; 8$-!+ !-!+ $-!+ 8!-!+ # &! /-; ! + 8#-; !-; 8#-; 8!-; #-; %#8!# + + + !-# !-# /8!-# /8!-# gI/¯p¹º©%¸#}BF 12 *!/ ;$< ;$+$+$+$+$+"3$%&’(p}B ;!2 *#:/ ;2$:< ;*?’1 £\´q#$°±(!$ *+$i/MN@OPQj ~}BF’ F##ÚÛÜG’ ¸\_;MN@OPQp)*+,3¶ñ·Ó#$&/$&;$ÄàUÝ_Þ5#$ &=$&?$¸Ò-ÛÜp(VW= %().*&=2&? (!((
第一章线性规划与单纯形法+16=8+4r2+2r-rs.t.33ri+2r2+3=6rs0据此可列出单纯形表1一10：表1-100000011cj8XeCsbai32X3X4Xsx6XT2181[4]-11200t6163200-1013X7-4-6-21100G-2j21/201/411/41/48a200120[5/2]-11/2-11/214/5t5/20-1/23/2101cj-zj9/513/500-3/101/103/10-1/1020104/5-2/51/5-2/5-1/52/5a10000011cj-zj94第一阶段求得的最优解X一，0，00.0.0）T，目标函数的最优值w*=0。559因人工变量。=工,=0,所以（，号，0,0.0.0，0)T是原线性规划问题的基可行55解。于是可以进行第二阶段运算。将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见表1一11。表1-112300cjI0:bCaXBr1X2s3x439/5013/51/103/10x224/510-2/51/52/5a100o1/21/2cj-2j940.0.0.0,0)T，目标函由表中计算可知，原线性规划问题的最优解X=（554+3×号数的最优值=2×=7由于存在非基变量检验数=0，故该线性规50划问题有无穷多最优解。(3)解1：大M法。在上述线性规划问题的第一、二个约束条件中分别加上松弛变量3，5，在第三个约束条件中减去剩余变量，再加上人工变量，得maxz=10ri+15r2+12rs+0r,+0rs+0r-Mr.19
A*B !"#$%&’() ,"-" &!2/#&$8&/ 2&= *> $&!2#&# 8&; 2&? *= &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$ % & ’ + ÁbY¿wI/¯!8!+# ¯!8!+ %# + + + + + ! ! 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? "( ! &= > ! //0 # 8! + ! + # ! &? = $ # + + 8! + ! $ %#8!# 8/ 8= 8# ! ! + + + &# # !-/ ! !-# 8!-/ + !-/ + > ! &? # /;-#0 + 8! !-# 8! 8!-# ! /-; %#8!# 8;-# + ! 8!-# ! $-# + + &# <-; + ! $-; 8$-!+ !-!+ $-!+ 8!-!+ + &! /-; ! + 8#-; !-; 8#-; 8!-; #-; %#8!# + + + + + ! ! Ò-ÛÜL¸p}BF 12 *!/ ;$< ;$+$+$+$+$+"3$%&’(p}B; .2 *+’ QÞ5#$&=*&?*+$µZ!/ ;$< ;$+$+$+$+$+"3 ¥sMN@OPQpqY F’f¥YZÍÒgÛÜɺ’UÒ-ÛÜp}Ù¯3pÞ5#$a¹$Ô ºÃsPQp%&’(p7($ÍÒgÛÜpɺ$¯!8!!’ ¯!8!! %# # $ ! + + 98 18 ) &! &# &$ &/ &; "( $ &# <-; + ! $-; 8$-!+ !-!+ # &! /-; ! + 8#-; !-; 8#-; %#8!# + + + !-# !-# g¯3¹ºY$sMN@OPQp}BF 12 *!/ ;$< ;$+$+$+$+$+"3$%&’ (p}B;!2 *#:/ ;2$:< ;*?gf£\´q#$°±(!$*+$i/MN@ OPQj~}BF’ !$"F!#ä / G’ \_;MN@OPQpÒ-,g)*+,3àUÝ_§¨#$&/$&;$\ÒE) *+,3¶ñ·Ó#$&=$ÄÝ_Þ5#$&?$¸ %&’!*!+&!2!;!#&$2+&/2+&;2+&=8/&? (!)(
运筹学同步辅导及习题全解=95+3++4=15-5r1+62+15r+rs2++rs—十=50其中M是二个任意大的正数。据此可列出单纯形表表1一12：表1-12121015000-Mcj0.XBbCBnx2ar4rsxsXTO9[5]3110009/5t1561501000-5as-52-M110015/2-1x710+2M15+M12+M00-M0cj-sj109/513/51/51/500094102409[16]11003/2357/53/5-2/57/3-M0-1/501-1a72-2MM10+3M-M09~00cj-zj555103/2139/8003/16-1/8000a1123/2009/1611/161/160a31-M1/200-7/163/80-14743/8027-43M21L_ZM3M00-M0cj-zj88016S由单纯形表的最终表可以看出，所有非基变量检验数,<0，且存在人工变量1寸·故原线性规划问题无可行解。r =解2：两阶段法在上述线性规划问题的第一、二个约束条件中分别加上松弛变量4，5，在第三个约束条件中减去剩余变量工，再加上人工变量，得第一阶段的数学模型：minw=r=95r+3+r+r4+x5=155+62+15r3s.t..2++-+=5112a3,,1s,ag,≥0据此可列出单纯形表表1一13：表1-130000001cj0;XsbCBrix2rsx4tst6X0[5]31100909/51415-561500100-Xs.20
0123456789:; ;&!2$ &$2&/ *< 8;&!2=!;&$ 2&; *!; #&!2  &$ 8&=2&?*; &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$ % & ’ + 23 / ¥-þäpí(’ÁbY¿wI/¯¯!8!## ¯!8!# %# !+ !; !# + + + 8/ 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? "( + &/ < /;0 $ ! ! + + + <-; + &; !; 8; = !; + ! + + ) 8/ &? ; # ! ! + + 8! ! ;-# %#8!# !+2#/ !;2/ !#2/ + + 8/ + !+ &! <-; ! $-; !-; !-; + + + < + &; #/ + < /!=0 ! ! + + $-# 8/ &? ?-; + 8!-; $-; 8#-; + 8! ! ?-$ %#8!# + <8 / ; !+2$/ ; 8#8#/ ; + 8/ + !+ &! $-# ! $<->+ + $-!= 8!->+ + + !# &$ $-# + <-!= ! !-!= !-!= + + 8/ &? !-# + 8/$->+ + 8?-!= 8$->+ 8! ! %#8!# + #? > 8/$/ >+ + 8 #! > 8?/ != 8 ; > 8$/ >+ 8/ + gI/¯p}Ù¯YZvw$µj´q#$°±(!#1+$k£\Þ5#$ &?*! #$isMN@OPQ~YF’ F##ÚÛÜG’ \_;MN@OPQpÒ-,g)*+,3àUÝ_§¨#$&/$&;$\ÒE )*+,3¶ñ·Ó#$&=$ÄÝ_Þ5#$&?$¸Ò-ÛÜp(VW=# %().*&? ,"-" ;&!2$ &$2&/ *< 8;&!2=!;&$ 2&; *!; #&!2  &$8 &=2&?*; &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$ % & ’ + ÁbY¿wI/¯¯!8!$# ¯!8!$ %# + + + + + + ! 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? "( + &/ < /;0 $ ! ! + + + <-; + &; !; 8; = !; + ! + + ) ("*(