和(p-股a 同理，可得到垂直于y轴的下、上两个微元面上的总压力分别为： (p-器a 和 垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为： (o-2 p+iop dz dxdy 20z 作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密 度为P,则质量力沿三个坐标轴的分量为 f.odxdydz f odxdydz fpdxdydz 处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的 外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于x轴，则为 1卫drdodz-p+2x） P-2 0x 1drdyd+pdvdz=0 整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量pdxdydz则得 -6器=0 同理得 ￡-10=0 p dy ￡-12=0 (2-3) 写成矢量形式 f-1p=0
和 同理，可得到垂直于 y 轴的下、上两个微元面上的总压力分别为： 和 垂直于轴的后、前两个微元面上的总压力分别为： 作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密 度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为 处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的 外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零。例如，对于 x 轴，则为 整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρdxdydz 则得 同理得 （2-3） 写成矢量形式 x x p p d 2 1 − x z y p p dy d d 2 1 − y x z y p p d d d 2 1 + x y z x p p d d d 2 1 − f x dxdydz f y dxdydz f z dxdydz 0 1 = − x p f x 0 1 = − y p f y 0 1 = − z p f z 0 1 f − p = x y z p p dz d d 2 1 − z x y z p p d d d 2 1 +
这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉(Euler)首先推导出来的， 所以又称欧拉平衡微分方程式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位 质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，除了假设是静止 流体以外，其他参数（质量力和密度）均未作任何限制，所以该方程组的适用范围 是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最基本的方 程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。 在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程出发，而是从下述的 压强差公式来进行推导的。 把式(23)两边分别乘以dk,dy,d血，然后相加，得 流体静压强是空间坐标的连续函数，即p=p(X,y,Z) 它物全粉为加-8股r+8部4r+2 所以dp=p(Edx+fdy+fdz) (2-4) 此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为x、 dy、dk时，相应的流体静压强增加dp,压强的增量取决于质量力。 二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体，密度p=常数，可将式(2-4)写成 d=fdx fdy fdz (p 上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学分析知：该式右 边成为某一个函数全微分的充分必要条件是 - Ox 0-股25 由理论力学可知，式(2-5)是fx、y、五具有力的势函数 π(x,y,z)的充分必要条件。力的势函数对各坐标轴的偏导数等于单位质量力
这就是流体平衡微分方程式，是在 1755 年由欧拉（Euler）首先推导出来的， 所以又称欧拉平衡微分方程式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位 质量流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，除了假设是静止 流体以外，其他参数(质量力和密度)均未作任何限制，所以该方程组的适用范围 是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。它是流体静力学最基本的方 程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。 在推导流体静力学的计算公式时，一般不从上述方程出发，而是从下述的 压强差公式来进行推导的。 把式（2-3）两边分别乘以 dx，dy，dz，然后相加，得 流体静压强是空间坐标的连续函数，即 它的全微分为 所以 （2-4） 此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为 dx、 dy、dz 时，相应的流体静压强增加 dp，压强的增量取决于质量力。 二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体，密度ρ＝常数，可将式（2-4）写成 上式的左边是全微分，它的右边也必须是全微分。由数学分析知：该式右 边成为某一个函数全微分的充分必要条件是 （2-5） 由理论力学可知，式（2-5）是 fx、fy、fz 具有力的势函数 的充分必要条件。力的势函数对各坐标轴的偏导数等于单位质量力 z z p y y p x x p (f x dx f y dy f z dz) d d d + + + + = p = p(x,y ,z) z z p y y p x x p dp d d d + + = dp = (f x dx + f y dy + f z dz) f x f y f z p d = x d + y d + z d y f z f y z = z f x f z x = x f y f x y = (x,y ,z)
在对应坐标轴上的分量，即： f =-ay (2-6 0z 写成矢量形式： f =-gradn 由式(2-4)得 =r+fn+=僵r+器4+整 p (2-6a) 有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有在有势 的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。 三、等压面 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。等压面可以用(x,Y)= 常数来表示。对不同的等压面，其常数值是不同的，而且流体中任意一点只能有 一个等压面通过。在等压面上，dp=0,由式(2-6a)可得d元=0，即=常数，也 就是说，在不可压缩静止流体中，等压面也是有势质量力的等势面。 液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，其上各点的压强等于 在分界面上各点气体的压强。互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。 等压面有一个重要性质，就是等压面与质量力互相垂直。因式(2-4)可得等压 面微分方程：为在等压面上各处的压强都一样，即dp=0,由式(2-4)可得等压面 微分方程： fdx +fdy fdz =0 (2-7列 式(27)左端又表示作用在等压面上A点的单位质量力F 与通过A点的等压面上的微元线段dS(其分量为dk、dW、dz)两个矢量的数 量积，如图2-4所示，f.ds=fdx+fdy+fdz=0 两个矢量的数量积等于零，必须f和ds互相垂直，其夹角中等于900。也就 是说，通过静止流体中的任一点的等压面都垂直于该点处的质量力。例如，当质 量力只有重力时，等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面
在对应坐标轴上的分量，即： （ 2-6 ） 写成矢量形式： 由式（2-4）得 （2-6a） 有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有在有势 的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。 三、等压面 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。等压面可以用 p(x,y,z)＝ 常数来表示。对不同的等压面，其常数值是不同的，而且流体中任意一点只能有 一个等压面通过。在等压面上，dp=0，由式（2-6a）可得 dπ=0，即=常数，也 就是说，在不可压缩静止流体中，等压面也是有势质量力的等势面。 液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，其上各点的压强等于 在分界面上各点气体的压强。互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。 等压面有一个重要性质，就是等压面与质量力互相垂直。因式(2-4)可得等压 面微分方程：为在等压面上各处的压强都一样，即 dp=0，由式(2-4)可得等压面 微分方程： (2-7) 式(2-7)左端又表示作用在等压面上 A 点的单位质量力 与通过 A 点的等压面上的微元线段 (其分量为 dx、dy、dz)两个矢量的数 量积，如图 2-4 所示， 两个矢量的数量积等于零，必须 f 和 ds 互相垂直，其夹角φ等于 900。也就 是说，通过静止流体中的任一点的等压面都垂直于该点处的质量力。例如，当质 量力只有重力时，等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面。 x f x = − y f y = − z f z = − f = −grad d d d d d d d d = − + + = + + = − z z y y x x f x f y f z p x y z f x dx + f y dy + f z dz =0 f ds f ds = f x dx + f y dy + f z dz = 0
但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平 面。 作用在等压面上A 点的单位质量力 A(z,y,z,ds X 图2-4两个矢量的数量积 第三节重力作用下的流体平衡 在自然界和实际工程中，经常遇到并要研究的流体是不可压缩的重力液体， 也就是作用在液体上的质量力只有重力的液体 一、重力作用下的静力学基本方程式 在一盛有静止液体的容器上取直角坐标系（只画出OY忆平面，Z轴垂直向上）， 如图2-5所示。这时，作用在液体上的质量力只有重力G=mg,其单位质量力在 各坐标轴上的分力为x=0,fy=0,fz=0代入式(2-4)，得dp=-Pgz 写成dz+业=0 (2-8) 对于均质不可压缩流体，密度·为常数。 积分上式，得2+卫=c (2-9) 式中c为积分常数，由器界条件确定。这就是重力作用下的液体平衡方程，通常 称为流体静力学基本方程。该方程的适用范围是：重力作用下的平衡状态均质不 可压缩流体。若在静止液体中任取两点1和2，点1和点2压强各为p1和p2, 位置坐标各为1和z2,则可把式(2-9)写成另一表达式，即： 名+A=五+ pg
但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平 面。 第三节 重力作用下的流体平衡 在自然界和实际工程中，经常遇到并要研究的流体是不可压缩的重力液体， 也就是作用在液体上的质量力只有重力的液体 一、重力作用下的静力学基本方程式 在一盛有静止液体的容器上取直角坐标系（只画出 OYZ 平面，Z 轴垂直向上）， 如图 2-5 所示。这时，作用在液体上的质量力只有重力 G=mg，其单位质量力在 各坐标轴上的分力为 fx=0，fy=0，fz=0 代入式（2-4），得 写成 （2-8） 对于均质不可压缩流体，密度ρ为常数。 积分上式，得 （2-9） 式中 c 为积分常数，由边界条件确定。这就是重力作用下的液体平衡方程，通常 称为流体静力学基本方程。该方程的适用范围是:重力作用下的平衡状态均质不 可压缩流体。若在静止液体中任取两点 l 和 2，点 1 和点 2 压强各为 p1 和 p2， 位置坐标各为 z1 和 z2，则可把式(2-9)写成另一表达式，即： dp = −gdz 0 d d + = g p z c g p z + = g p z g p z 2 2 1 1 + = +
(2-10) Po 0 图2-5推导静力学基本方程式用图 为了进一步理解流体静力学基本方程式，现在来讨论流体静力学基本方程的 物理意义和几何意义 1.物理意义 从物理学可知，把质量为m的物体从基准面提升z高度后，该物体就具有 位能mg2,则单位重量物体所具有的位能为zmgz/mg=到。所以式(2-9)中z的物 理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位势能。 式(2-9)中的p/g表示单位重量流体的压强势能，这可说明如下：如图2-6所示， 容器离基准面z处开一个小孔，接一个顶端封闭的玻璃管（称为测压管），并把其 内空气抽出，形成完全真空(=0，在开孔处流体静压强p的作用下，流体进入 测压管，上升的高度h=p/Pg称为单位重量流体的压强势能。位势能和压强势能 之和称为单位重量流体的总势能。所以式(2-9)表示在重力作用下静止流体中各点 的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量守恒定律
（2-10） 为了进一步理解流体静力学基本方程式，现在来讨论流体静力学基本方程的 物理意义和几何意义 1.物理意义 从物理学可知，把质量为 m 的物体从基准面提升 z 高度后，该物体就具有 位能 mgz，则单位重量物体所具有的位能为 z(mgz/mg=z)。所以式(2-9)中 z 的物 理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位势能。 式(2-9)中的 p/ρg 表示单位重量流体的压强势能，这可说明如下：如图 2-6 所示， 容器离基准面 z 处开一个小孔，接一个顶端封闭的玻璃管(称为测压管)，并把其 内空气抽出，形成完全真空(p=0)，在开孔处流体静压强 p 的作用下，流体进入 测压管，上升的高度 h=p/ρg 称为单位重量流体的压强势能。位势能和压强势能 之和称为单位重量流体的总势能。所以式(2-9)表示在重力作用下静止流体中各点 的单位重量流体的总势能是相等的。这就是静止液体中的能量守恒定律。 图 2-5 推导静力学基本方程式用图