例1.5 当X为n维线性空间，A为X上线性变换时，我们有 dim Ran(A-λ)=n-dim Ker(A-λ) 其中RanT和KerT分别表示线性算子T的值域和零空间.因 此A一入I为单射等价于它为满射.于是入∈σ(A)当且仅当入为A的 特征值.换句话说，有限维空间上线性算子的谱即其特征值全体」 泛函份析 November 23.2021 6/30
例 1.5 当 X 为 n 维线性空间, A 为 X 上线性变换时, 我们有 dim Ran (A − λI) = n − dim Ker (A − λI) 其中 Ran T 和 Ker T 分别表示线性算子 T 的值域和零空间. 因 此 A − λI 为单射等价于它为满射. 于是 λ ∈ σ(A) 当且仅当 λ 为 A 的 特征值. 换句话说, 有限维空间上线性算子的谱即其特征值全体. 泛函分析 November 23, 2021 6 / 30
例1.6 设X=Ca),定义X上算子A为 (A(=x(r)dr,Vzla,). A无特征值. 0是A的剩余谱 泛函分析 November 23.2021 7/30
例 1.6 设 X = C([a, b]), 定义 X 上算子 A 为 (Ax)(t) = ∫ t a x(τ )dτ, ∀x ∈ C([a, b]). A 无特征值. 0 是 A 的剩余谱. 泛函分析 November 23, 2021 7 / 30
例1.7 设A∈C(C[a,)定义如下： Au(t)=tu(t),t∈0，T,Hu∈C[a,)- (1) A没有特征值.入∈[a,属于A的剩余谱. 泛函分析 November 23.2021 8/30
例 1.7 设 A ∈ L(C([a, b])) 定义如下: Au(t) = tu(t), t ∈ [0, T], ∀u ∈ C([a, b]). (1) A 没有特征值. λ ∈ [a, b] 属于 A 的剩余谱. 泛函分析 November 23, 2021 8 / 30
例1.8 设X=2(0,1),定义X上有界线性算子A如下： t)→t(t). 若入0,1]，则入∈p(A). σ(A)=oc(A)=0,1. 泛函分析 November 23.2021 9/30
例 1.8 设 X = L 2 (0, 1), 定义 X 上有界线性算子 A 如下: x(t) 7→ tx(t). 若 λ ∈/ [0, 1], 则 λ ∈ ρ(A). σ(A) = σc(A) = [0, 1]. 泛函分析 November 23, 2021 9 / 30