Bo2802 ho 都是力常数，可以通过Morse函数的展开式给出。 B。=212D>0 80=-63D<0 h=14元4D>0 要注意不同书中系数的定义有所不同，并不影响讨论结果。 我们先只取到三次方项： Ma,+)=7R82+6&0 简谐项 非简谐项
β0 00 , , g h 都是力常数，可以通过 Morse函数的展开式给出。 要注意不同书中系数的定义有所不同，并不影响讨论结果。 2 0 3 0 4 0 2 0 6 0 14 0 D g D h D β λ λ λ = > =− < = > 我们先只取到三次方项： 2 3 0 00 1 1 ( ) 2 6 ua g + + δ βδ δ 简谐项 非简谐项
按照Boltzman统计，处于热平衡时，对平衡态的偏离： δ= 180kI (求解比较繁琐， 十00 erdδ 2盼 需要假定：8。<B) 显然，不考虑三次方项， 8。=0,δ=0不会发生热膨胀。 考虑了三次项后即可以解释热膨胀，此时线膨胀系数是常数： 1dδ =常数 an dT 2a 如果考虑比三次方以上的更高次项，膨胀系数就不再是线 性的。实验曲线表明了这点
按照 Boltzman 统计，处于热平衡时，对平衡态的偏离： 0 2 0 d 1 2 d u kT u B kT e g k T e δ δ δ β δ +∞ − −∞ +∞ − −∞ = =− ∫ ∫ 显然，不考虑三次方项， 不会发生热膨胀。 0 g = 0, 0 δ = 考虑了三次项后即可以解释热膨胀，此时线膨胀系数是常数： 0 2 0 00 1 d d 2 B g k aT a δ β = − 如果考虑比三次方以上的更高次项，膨胀系数就不再是线 性的。实验曲线表明了这点。 （求解比较繁琐， 需要假定： ） o 0 g < β ＝常数
5.46 三相点 1.62 5.42 1.66 5.38 1.70 (-m元·/ 5.34 1.74 5.30 31.78 0 20 40 60 80 温度K 见Kittel p89 图15固态氩的晶格常量与温度的函数关系
见Kittel p89
二.非简谐下的解： 先看一个双原子运动方程： w=例=- i (是两原子的约化质量 8+B6-18=0 L ② 8+aoδ-so82=0 ① 80<0 2Bo 其解的形式为： :δ=v。+A(cos wt-+7cos2ot) ③ 这里只考虑了Fourier展开式中的头三项，所以只有2o项， 如果考虑δ3项，则会有3o的项。 将③式代入①求解，并假定sA<<1,有：
二. 非简谐下的解： 先看一个双原子运动方程： 2 0 0 0 0 2 2 22 0 0 1 ( ) 2 1 0 2 0 u f g g s μδ δ βδ δ δ β δδ δ μ μ δ ωδ ωδ ∂ = =− =− − ∂ +− = +− = 2 0 0 0 0 0 2 g s β ω μ β = = < μ 是两原子的约化质量 其解的形式为： 0 δ = vA t t + + (cos cos 2 ) ωη ω 这里只考虑了Fourier 展开式中的头三项，所以只有2ω项， 如果考虑 项，则会有 3ω的项。 3 δ ② ① ③ 将③ 式代入 ①求解，并假定 sA<<1，有：
1 %=-5S42>0 ④ 2 o2=o1-s2A2) ⑤ SA ⑥ 6 利用③式，并考虑到：(coso）=0,(cos2wr）=0 有：)=付=a,+(例=a+,=4,-2f=a4说 1804 ⑦ 因为80<0，所以：a(T)>a 注意到势能曲线的斜率： 即作用力下降，频率降低，见⑤式
2 0 2 2 22 0 1 0 2 (1 ) 6 v sA s A sA ω ω η =− > = − = ⑤ 2 2 0 0 00 0 0 0 1 1 ( ) 2 4 g a T r a a v a sA a A δ β = =+ =+=− =− 利用③式，并考虑到： cos 0, cos 2 0 ω ω t t = = 有： 因为 ，所以： 0 g < 0 0 aT a ( ) > 注意到势能曲线的斜率： 即作用力下降，频率降低，见 式 0 , a a u u r r ⎛⎞⎛⎞ ∂ ∂ ⎜⎟⎜⎟ < ⎝⎠⎝⎠ ∂ ∂ ④ ⑥ ⑤ ⑦