第五章 能带理论 能带论是目前研究固体中的电子状态，说明固体性质最重 要的理论基础。它的出现是量子力学与量子统计在固体中应用 最直接、最重要的结果。能带论不但成功地解决了经典电子论 和Sommerfeld自由电子论处理金属问题时所遗留下来的许多问 题，而且成为解释所有晶体性质（包括半导体、绝缘体等）的 理论基础。 固体物理中这个最重要的理论是一个青年人首先提出的， 1928年23岁的Bloch在他的博士论文“论晶格中的量子力学” 中，最早提出了解释金属电导的能带概念，接着1931年Vilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满，从 而奠定了半导体物理的理论基础，在其后的几十年里能带论在 众多一流科学家的努力中得到完善。 能带论虽比自由电子论有所严格，但依然是一个近似理论：
第五章 能带理论 能带论是目前研究固体中的电子状态，说明固体性质最重 要的理论基础。它的出现是量子力学与量子统计在固体中应用 最直接、最重要的结果。能带论不但成功地解决了经典电子论 和Sommerfeld自由电子论处理金属问题时所遗留下来的许多问 题，而且成为解释所有晶体性质（包括半导体、绝缘体等）的 理论基础。 固体物理中这个最重要的理论是一个青年人首先提出的， 1928年 23岁的 Bloch 在他的博士论文“论晶格中的量子力学” 中，最早提出了解释金属电导的能带概念，接着1931年Wilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满，从 而奠定了半导体物理的理论基础，在其后的几十年里能带论在 众多一流科学家的努力中得到完善。 能带论虽比自由电子论有所严格，但依然是一个近似理论
假定在体积V=L3中有N个带正电荷Z的离子实，相应地 有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为： 2产 方2 2M 名证品 1 Ze =To+Uce(F)+T +Um(R2 Rm)+Uen(,R) 哈密顿量中有5部分组成，前两项为Z电子的动能和电子 之间的库仑相互作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑 相互作用能，第五项为电子与离子实之间的相互作用能。 体系的薛定谔方程：庄w(下，)=Vy(行，R)
2 2 2 2 2 1 , 1 0 2 2 , 0 0 1 1 1 1 ˆ ' 2 2 4 2 1 1 ( ) 1 ' 2 4 4 ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) NZ N i n i i j n i j NZ N m n n m i n i n e ee i j n nm n m en i n e H m M r r Ze Ze R R r R T U r r T U R R U r R pe pe pe = = = = = - Ñ + - Ñ - + - - - = + + + + å å å å åå h h v v v v v v v v v v v v 假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应地 有 NZ 个价电子，那么该系统的哈密顿量为: 哈密顿量中有 5 部分组成，前两项为NZ电子的动能和电子 之间的库仑相互作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑 相互作用能,第五项为电子与离子实之间的相互作用能。 体系的薛定谔方程： ( , ) ( , ) H ˆ r R r R r v r v y = ey
但这是一个10cm3量级的非常复杂多体问题. 不做简化处理根本不可能求解。 首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子 运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为 离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响。最简 单的处理就是取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多 体问题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为： i=i。+Ue(,f）+Un(,Rn) 多电子体系中由于相互作用，所有电子的运动都关联在 起，这样的系统仍是非常复杂的。但可以应用平均场近似，让其 余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均 场，即平均场近似： NZ Ue(,)=-
但这是一个 量级的非常复杂多体问题. 不做简化处理根本不可能求解。 首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子 运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为 离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响。最简 单的处理就是取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多 体问题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为： ( , ) ( , ) ˆ ˆ e ee i j en i Rn H T U r r U r v v v v = + + 多电子体系中由于相互作用，所有电子的运动都关联在一 起，这样的系统仍是非常复杂的。但可以应用平均场近似，让其 余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均 场，即平均场近似： 2 ' , 1 0 1 1 ( , ) ( ) 2 4 NZ NZ ee i j e i i j i i j e U r r u r pe r r = = - = - å å v v v v v 23 3 10 cm-
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和： 因此可以用分离变量法单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为： U()=4,()-∑， Ze2 4πoF-Rnm 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似)： U(F+R,)=U(F)
å å = = ú ú û ù ê ê ë é - = - Ñ + - NZ i N n i m i e i r R Ze u r m H 1 1 2 0 2 2 4 1 ( ) 2 ˆ v v h v pe 系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和： 因此可以用分离变量法单个电子独立求解（单电子近似） 。 单电子所受的势场为： å - = - Rn m e r R Ze U r u r v v v v 2 0 4 1 ( ) ( ) pe 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似）： U (r R ) U (r) n v v v + =
平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电 子问题，单电子薛定谔方程为： 点r-u00w 其中： U(+R,)=U(F) 这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题
平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电 子问题，单电子薛定谔方程为： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 U r r E r m y y é ù - Ñ + = ê ú ë û h U (r R ) U (r) n v v v 其中： + = 这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题