5.7晶体能带的对称性 E()函数的对称性 二.E图示 三.空格模型的能带 见黄昆书4.6节p202 晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具 有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有 对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简 化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制k空间的 能带图时，就可以充分利用其对称性质。 晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都 会反映到本征能量的对称性上。 晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称 性相同，我们可以参照理解
5.7 晶体能带的对称性 晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具 有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有 对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简 化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制 k 空间的 能带图时，就可以充分利用其对称性质。 晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都 会反映到本征能量的对称性上。 晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称 性相同，我们可以参照理解。 一. En (k)函数的对称性 二. En (k)图示 三. 空格模型的能带 见黄昆书 4.6节 p202
一、 E()函数的对称性 1.E(k)=E(+G) 平移对称性 Bloch定理一节中曾指出简约波矢k表示原胞之间电 子波函数位相的变化，如果飞改变一个倒格矢量，它们 所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是 说k和k+G是等价的，从这点出发我们也可认为E,(k) 是k空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的 取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz.原胞，即第一布里 渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区 的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouinl区重合。 同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重 合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含 了晶体能带的所有必要信息。 应特别注意，这个表达式只是对同一能带才正确
一、 En (k)函数的对称性 Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电 子波函数位相的变化，如果 k 改变一个倒格矢量，它们 所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是 说 k 和 k+Gh 是等价的，从这点出发我们也可认为 是 k 空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的 取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里 渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区 的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。 同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重 合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含 了晶体能带的所有必要信息。 应特别注意，这个表达式只是对同一能带才正确。 ( ) ( ) n n Gh E k E k v v v 1. = + E k n ( ) 平移对称性
一、三两章 已经讲过。 ■FBZ ☐2ndBZ3rdBZ 正方晶格的头三个布里渊区
Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ FBZ 2nd BZ 3rd BZ 正方晶格的头三个布里渊区。 一、三两章 已经讲过
FBZ 2nd BZ 0 3rd BZ ☐4thBZ Simple Cubic Lattice,FBZ: 2nd BZ:3rd BZ:4th BZ 2. E,(k=E,(ak) 点群对称性 该式表明能带与晶格有相同的对称性。α为晶体所属 点群的任一点对称操作。证明如后：
E (k ) E ( k ) n n v v = a 该式表明能带与晶格有相同的对称性。a 为晶体所属 点群的任一点对称操作。证明如后： 2. 点群对称性 Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ; 4th BZ FBZ 2nd BZ 3rd BZ 4th BZ
设Ψ(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为E(k)。 iyk(F)=En(k)Wk(F） 由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作α作用 于本征函数的结果， φn(F)=ynk(0r) 应为具有同样本征值的另一本征函数。 W(aF+aR)=eakn(aF) 又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有： A·B=(A·B)=A·B a1A.B=OoA·CB=AB
应为具有同样本征值的另一本征函数。 设 ynk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 En (k)。 ( ) ( ) ( ) ˆH r E k r nk n nk v v v y = y 由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作a作用 于本征函数的结果， (r) ( r) n nk v v f =y a ( r R ) e ( r) nk ik R nk n n v v v v v y a a y a ×a + = A B A B A B A B A B A B v v v v v v v v v v v v a a a a a a a a × = × = × × = × = × -1 -1 ( ) 又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：