3.2晶格振动的量子化一声子 一.简谐近似和简正坐标 参考黄昆书3.1节(p79-82) 二.晶格振动的量子化 及p88-92 三.声子 Kittel书4.3和4.4两节 一.简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。 本节采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82) N个原子组成的晶体，平衡位置为R,,偏离平衡位置 的位移矢量为：u(t) 所以原子的位置表示为： R(t)=Ro+up (t)
3.2 晶格振动的量子化－声子 参考黄昆书 3.1节（p79-82） 及p88-92 Kittel 书 4.3和4.4 两节 一. 简谐近似和简正坐标 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 一.简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。 本节采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82） N个原子组成的晶体，平衡位置为 ，偏离平衡位置 的位移矢量为： 0 '( ) ( ) R n n t = + R u t R n ( ) n u t 所以原子的位置表示为：
势能在平衡位置展开： a+ av Ou,ouj uououx 4,4,4%+… 只保留u的二次项称作简谐近似。N个原子体系的动能函数 为：T这m(岛 系统总能量E=T+V,由于势能项中包 含有依赖于两原子坐标的交叉项，这给理论表述带来了困难， 同时，由于4的变化可以是连续的，所以总能量也是连续 的。这是经典力学描述的结果。 为使系统的势能和动能表示更加简化，现引入简正坐标： 3N Vm,4=∑a,2, 21,Q2,Q3,Q4,…Q3N i=l
3 3 3 2 3 0 1 1 1 0 0 0 1 1 2 6 N N N i i j i j k i i i i i j i j k V V V V V u u u u u u = u = = u u u u u æ ö ¶ æ ¶ ¶ ö æ ö = + ç ÷ + ç ÷ + + ç ÷ ç ÷ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø è ø å å å ggg 势能在平衡位置展开： 只保留 的二次项称作简谐近似。N个原子体系的动能函数 为： 系统总能量 ，由于势能项中包 含有依赖于两原子坐标的交叉项，这给理论表述带来了困难， 同时，由于 的变化可以是连续的，所以总能量也是连续 的。这是经典力学描述的结果。 为使系统的势能和动能表示更加简化，现引入简正坐标： i u 2 3 1 1 2 N i i i du T m dt = æ ö = ç ÷ è ø å 3 1 N i i ij i i m u a Q = = å 1 2 3 4 3 , , , , Q Q Q Q Q N ggg E = + T V i u
引入简正坐标后，使系统的能量表达更为简洁，没有了交叉项： 3W r=1 3N V- o0 2 i=1 L i=l 系统的拉格朗日函数为： L=T-V 哈密顿量：H-之(r+oQ) aL 正则动量：P= =0 80, 经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为我们所熟知 的经典谐振子哈密顿量之和，也就是说在新的坐标系里，系 统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即用简正坐标 来描述独立的简谐振动。 应用正则方程得到：( ,+0,2=0i=1,2,3,…,3N 系统振动由3N个独立的谐振子来表述 任意简正坐标的解： Q,=Asin(o,t-δ)
3 2 1 1 2 N i i T Q = = å & 3 2 2 1 1 2 N i i i V Q w = = å L = - T V i i i L p Q Q ¶ = = ¶ & ( ) & 3 2 2 2 1 1 2 N i i i i H p Q w = = + å 引入简正坐标后，使系统的能量表达更为简洁，没有了交叉项： 系统的拉格朗日函数为： 哈密顿量： 经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为我们所熟知 的经典谐振子哈密顿量之和，也就是说在新的坐标系里，系 统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即用简正坐标 来描述独立的简谐振动。 2 0 Q Q i + = wi i && 应用正则方程得到： i N = 1,2,3,×××,3 sin( ) Qi i = - A t w d 任意简正坐标的解： 正则动量： 系统振动由 3N个独立的谐振子来表述
晶体中原子间的耦合振动，在简谐近似下也可以 用3nN个简正坐标下的谐振子运动来描述。由于简正 坐标Q是各原子位移量的某种线性组合，所以一个简 正振动并不是表示一个原子的振动，而是整个晶体所 有原子都参与的运动。 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的 共同振动常被称作晶体的一个振动模。 N个原胞，每个原胞n个原子的晶体总共有3nN种 振动模。或说可以用3nN种简谐振子的运动来表述。 引入简正坐标后，我们可以方便地转入用量子力 学的观点来理解晶格振动问题，这才是最为重要的
晶体中原子间的耦合振动，在简谐近似下也可以 用 3nN 个简正坐标下的谐振子运动来描述。由于简正 坐标 Qi 是各原子位移量的某种线性组合，所以一个简 正振动并不是表示一个原子的振动，而是整个晶体所 有原子都参与的运动。 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的 共同振动常被称作晶体的一个振动模。 N个原胞，每个原胞 n个原子的晶体总共有 3nN种 振动模。或说可以用3nN种简谐振子的运动来表述。 引入简正坐标后，我们可以方便地转入用量子力 学的观点来理解晶格振动问题，这才是最为重要的
二.晶格振动的量子化： 经坐标变换后写出体系经典哈密顿量可以直接作为量子力 学的出发点，写出波动方程： -&+e小0g0n@.e-Q》 显然方程表示一系列相互独立的简谐振子，对于其中每一个 简正坐标都有： s+小pe-eoe 谐振子的解是大家熟知的：￡，=(n,+)ho, 独立谐振子能量量子化 是量子力学的结论。 3 而系统本征态的能量为： 通过经典力学，我们已经获得晶格振动频率⊙的表达式
二. 晶格振动的量子化： 经坐标变换后写出体系经典哈密顿量可以直接作为量子力 学的出发点，写出波动方程： 3 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 ( , , , ) ( , , , ) 2 N i i N N i i Q Q Q Q E Q Q Q Q w y y = é ù æ ö ¶ - + ××× = ××× ê ú ç ÷ ¶ ë û è ø å h 显然方程表示一系列相互独立的简谐振子，对于其中每一个 简正坐标都有： 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 i i i i i i Q Q Q Q w j e j é ù ¶ - + = ê ú ¶ ë û h 谐振子的解是大家熟知的： 而系统本征态的能量为： 1 ( ) 2 i i i e w = + n h 3 3 1 1 1 ( ) 2 N N i i i i i E n e w = = = å å= + h 通过经典力学，我们已经获得晶格振动频率ω的表达式。 独立谐振子能量量子化 是量子力学的结论