5.3三维周期场中电子运动的近自由电子近似 一、方程与微扰计算 方程： [p+io-w 周期场：U(r)=U(r+R) R为格矢 Fourier展开：U(r)=U,+∑Uneo,r n≠0 U,=U()dr势能函数的平均值 U.=wU()e,dr微小量
5.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似 一、方程与微扰计算 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 U E m y y é ù - Ñ + = ê ú ë û h 方程： r r r 周期场： U U ( ) = + ( ) l r r R Rl 为格矢 Fourier展开： ( ) 0 0 n i n n U U U e × ¹ = +å G r r ( ) 0 ( ) 1 V U U d V = t ò r 势能函数的平均值 ( ) ( ) 1 n i n V U U e d V t - × = ò G r r 微小量
H=- 0() 2m 2m =H。+H' 零级近似：H,= 令U。=0 2m 微扰项： H'=∑.eiG.r n≠0 可由自由电子求出零级近似的归一化波函数和能量本征值 方2k2 E(k)= 2m )e
( ) 2 2 2 2 0 2 2 0 n i n n H U U U e m m × ¹ = - Ñ + = - Ñ + +å h h G r r H H 0 = + ¢ 2 2 2 2 0 0 2 2 H U m m = - Ñ + = - Ñ h h 零级近似： 0 令U = 0 微扰项： 0 n i n n H U e × ¹ ¢ = å G r 可由自由电子求出零级近似的归一化波函数和能量本征值 ( ) 2 2 (0) 2 k E m = h k ( ) (0) 1 i e V y × = k r k r
与一维情况类似，一级微扰能量为 E((k=k H'k plu.d 一级修正的波函数和二级微扰能量分别为 a四w (K'H'\k) 24 2mUn ze(+G,)r 因-名长x妆a 2mU
与一维情况类似，一级微扰能量为 ( ) (1) E H k = k k¢ ( ) 0 1 0 n i i i n V n e U e e d V t - × × × ¹ æ ö = = ç ÷ è ø ò å k r G r k r 一级修正的波函数和二级微扰能量分别为 ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (0) (0) (0) H E E y y ¢ ¢¹ ¢ ¢ = å - ¢ k k k k k k r r k k ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 n n i n n mU e V k + × ¹ = - + åh h k G r k G ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 (2) (0) (0) 2 2 2 2 0 2 n n n H m U E ¢¹ ¹ E E k ¢ ¢ = = - ¢ - + å å k k h h k k k k k k G
其中 kHr"k=ekr∑Ue'd n≠0 当k=k十Gn 当k≠k+Gn 当k离布里渊区边界较远时，由于周期场的影响而 产生的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微扰。 但是，在布里渊区边界面上或其附近时，即当k2=(k+G)2 时，这时相应的散射波成分的振幅变得很大，不能当作 小的微扰来处理，而要用简并微扰来处理。 零级近似的波函数由相互作用强的几个态的线性组 合来组成，由此可解得在布里渊区边界面上简并分裂后 的能量为 E生=Eo(k)±Un
其中 ( ) ( ) 0 1 n i i n V n H e U e d V t - ¢- × × ¹ ¢ ¢ = ò å k k r G r k k ＝{ 0 Un 当 k’＝k＋Gn 当 k’ ¹ k＋Gn 当 k 离布里渊区边界较远时，由于周期场的影响而 产生的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微扰。 但是，在布里渊区边界面上或其附近时，即当k 2@(k+Gn ) 2 时，这时相应的散射波成分的振幅变得很大，不能当作 小的微扰来处理，而要用简并微扰来处理。 零级近似的波函数由相互作用强的几个态的线性组 合来组成，由此可解得在布里渊区边界面上简并分裂后 的能量为 ( ) (0) E± = ± E Un k
需要指出的是，在三维情况下，在布里渊区边界面上的 一 般位置，电子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作 用强，其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成： 而在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量多重 简并的情况。对于g重简并，即有g个态的相互作用强，因 而，其零级近似的波函数就需由这g个相互作用强的态的线 性组合组成，由此解出简并分裂后的g个能量值。 k k3 长6 ks
需要指出的是，在三维情况下，在布里渊区边界面上的 一般位置，电子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作 用强，其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成； 而在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量多重 简并的情况。对于 g 重简并，即有 g 个态的相互作用强，因 而，其零级近似的波函数就需由这 g 个相互作用强的态的线 性组合组成，由此解出简并分裂后的 g 个能量值。 k k 1 k2 k3 k k2 k3 k1 k4 k5 k6 k k7 x ky