高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 上述处理中,利用了Dyf(xo,3o)∈R×可逆,则一开始便可取B(xo),B(yo),使得对Ⅴx∈ Bx(x0),y∈B(30),Dyf(x,y)∈Rnxn可逆 估计 Df)-(x,(x)D-f(x,(x)△m+(x+△)-(x)kn =|(Df)-1(x,E(x)·{Df(x,(x)·(Df)-(a,(x)Dnf(x,(m)△x (a+△x)-E(x)} ≤|Df(x,(x)·[(Df)-1(x,(x)Df(x,(x)△m+(x+4)-(x) I(D, f)-(ac, s(acRUx ≤|Df)-l(x,(x)kxn(1+0)e△arkm, 即有 a(ax+△a)-()+(Dras(),D,r(:(a),△ <|Dnf)-(x,(x)xn(1+ 即有 ￡(x+△x)=E(x)-(Df)-(x,(x)·Df(x,(x)△x+o(4a|x)∈R 亦即(x)在Bx(a0)上可微,且 DE(x)=-(Df)-(x,5(x)·Dnf(x,(x),vx∈Bx(xo 即有E∈61(B1(x0);Rn) 2应用事例 事例1.设 F(au,, w, r, y)=uy+ur+w+ G(u,v, w, r, y)=uo+a+y+1 P=(2,1,0,-1,0)又有F(P)=0,G(P)=0,证明: F=0 1.在点(2,1,0)的某一邻域内能由方程组 定义唯一的函数关系 G=0 ,0, y=g(u,,) 2.求 jacobi矩阵 f, 9 ,U
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 上述处理中, 利用了 Dyf(x0, y0 ) ∈ R n×n 可逆, 则一开始便可取 Bλ(x0), Bµ(y0 ), 使得对 ∀ x ∈ Bλ(x0), y ∈ Bµ(y0 ), Dyf(x, y) ∈ R n×n 可逆. 估计 (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆) − ξ(x) Rn = (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · { Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)]} Rn 6 Dyf(x, ξ(x)) · [ (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x) ] Rn · (Dyf) −1 (x, ξ(x)) Rn×n 6 (Dyf) −1 (x, ξ(x)) Rn×n ( 1 + M α ) ε|∆x|Rm, 即有 1 |∆x|Rn ξ(x + ∆x) − ξ(x) + (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)) · ∆x Rn < (Dyf) −1 (x, ξ(x)) Rn×n ( 1 + M α ) ε, 即有 ξ(x + ∆x) = ξ(x) − (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x))∆x + o(|∆x|X) ∈ R n , 亦即 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上可微, 且 Dξ(x) = −(Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)), ∀ x ∈ Bλb(x0), 即有 ξ ∈ C 1 (Bλb(x0); R n ). 2 应用事例 事例 1. 设 F(u, v, w, x, y) = uy + vx + w + x 2 G(u, v, w, x, y) = uvw + x + y + 1 P0 = (2, 1, 0, −1, 0) 又有 F(P0) = 0, G(P0) = 0，证明： 1. 在点 (2, 1, 0) 的某一邻域内能由方程组 F = 0 G = 0 定义唯一的函数关系 x = f(u, v, w) y = g(u, v, w) 2. 求 Jacobi 矩阵 D(f, g) D(u, v, w) P0 6
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 解.1.定义 uvw+rty 则有 +2 y 1 12 即有Dn1H1 非奇异,则根据隐映照定理 2 2 彐Bx B 有vv∈Bx1 0 e Bu o 0∈R2 y 2.由H =0∈R2可得 y 0∈R2 所以 Dr U+2 UIU W aU y-uUu U-u+2r| -y+u2w+2.rww -r+uww+2ruw 因此 D(, g) 1013 D(22o)|o-3L0-13
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 解. 1. 定义 H u v w , [ x y ] = [ uy + vx + w + x 2 uvw + x + y + 1 ] 则有 H 2 1 0 , [ −1 0 ] = 0，且 D[ x y ]H u v w , [ x y ] = [ v + 2x u 1 1 ] 即有 D[ x y ]H 2 1 0 , [ −1 0 ] = [ −1 2 1 1 ] 非奇异，则根据隐映照定理 ∃ Bλ 2 1 0 , Bµ ([ −1 0 ]) , 有 ∀ u v w ∈ Bλ 2 1 0 , ∃ ! [ x y ] u v w ∈ Bµ ([ −1 0 ]) 满足 H u v w , [ x y ] u v w = 0 ∈ R 2 2. 由 H u v w , [ x y ] u v w = 0 ∈ R 2 可得 D[ u v w ]H + D[ x y ]HD [ x y ] u v w = 0 ∈ R 2 所以 D [ x y ] u v w = − ( D[ x y ]H )−1 D[ u v w ]H = − [ v + 2x u 1 1 ]−1 [ y x 1 vw uw uv ] = − 1 v − u + 2x [ y − uvw x − u 2w 1 − u 2 v −y + u 2w + 2xvw −x + uvw + 2xuw −1 + uv2 + 2xuv ] 因此 D(f, g) D(u, v, w) P0 = 1 3 [ 0 1 3 0 −1 3 ] 7