证此结论中的论断(1)可由秩判据予以证明,论断(2)可由PBH秩判据予以证 明。前一种情况比较简单,故推证过程略去。下面只来推证后一种情况,并且为符号不致 过于繁杂不妨设和B为:J1 66b λ1·1 8=6 (346) r12 02 ba 则即可导出 0 231 21 [sl-d,B] 0 21 λ2b
由(346)可知,在所考情况下,A有两个特征值λ1和乙2,且,≠飞2。并且,相对于x 有两个约当小块;而对应于2,有一个约当小块。利用PBH秩判据,先对s一λ1进行判 断,于是由(347)中令5〓礼1可导出 0 [λ1一A,B] v------------ 66666-6 348) 其中λ1一22≠0。再对式(3.48)作一系列的列和行变换,那么上式可变换为 0 b (349) 0 b λ1-: 这表明,(349)中的矩阵,也即[λ1一A,B]为行满秩的充分必要条件为 b b (350) 为行线性无关。类似地,可对h推证而导出相应的结果。从布,论断(2)得证。于是,证 明完成
2能控性指数(只对定常线性系统定义,系统完全能控) Qk-[B!ABl4B|…A-B] (351) K=n时,Qk即为能控性判别矩阵。 有时,在k<n时,Qk的秩就已经是 称使 rank Qk=n的k的最小正整数μ为系统的能控性指数。[系统综合时用到] g =BAB… 要满秩,须μP>=n故≥n→H2/P 又若 rank b B AB AB rank=r其中至少有一个 列向量与左边的 个线性无关的 向量线性无关 r+-1≤n→≤n-r+1 综上,n≤H≤m-r+
2 能控性指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控） • K=n时，Qk即为能控性判别矩阵。 • 有时，在k<n时， Qk的秩就已经是n了。 • 称使rank Qk=n的k的最小正整数μ为系统的能控性指数。[系统综合时用到] p p p p n p Q B AB A B = − 1 要满秩，须μP>=n.故 又若rank B =r<=p p n p n B AB A B AB r rank r 2 −1 = 向量线性无关 个线性无关的列 列向量与左边的 其中至少有一个 1 1 1 − + + − − + n r p ， n r n n r 综上