这意味着系统为不完全能控,显然和已知条件相矛盾。因此反设不成立即(330)成立。 充分性:(330)成立,欲证系统为完金能控。 反设系统不能控。利用规范分散定理,存在等价变换矩阵P,使 {A,B}→>{A,B} A=PAP-l B B 设λ为的特征值,则存在行向量β,满足 BA=nB 构造行向量a=[0/]则 2/-A 12 0A-A0 Le a[P(-4)P1P]=a(x-A)P1B]=0 C=c≠
= = = → − 0 , 0 { , } { , } 1 12 c c c B B A A A A PAP A B A B 0, ( ) ( ) 0 . . 0 0 0 0 0 1 1 1 2 = − = − = = − − − − = = = − − P P I A P PB P I A P B i e I A I A A B I A B ， A c c c c 构造行向量 则 反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵P，使 设λ为 A 的特征值，则存在行向量 c β，满足
=P≠0. a(-A)P=0→a(4-A)=0 Salar-A b=o aB=0 rank[aI-A Bk<n 与已知矛盾。反设不成立。 考虑到[-A,B]为多项式矩阵,且对复数域上除4i-1,2,:n以外的所有 都有det(:-A)≠0,所以(330)等价于(331)
。 。 rank I A B n I A B B I A P I A P 与已知矛盾 反设不成立 − − = = − = − = = − 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0, 1
结论4[PBH特征向量判据]线性定常系统(37为完全能控的充分必要条件是,d 不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。也即对A的任一特征值,使同时满足 GA=a,③出一·:2 (337) 的特征向量a≡0,菜门 证必要性:反设存在一个佝量《≠0,使成立3 amA=iar, aTB0 (338) 则就有 aB=0,aAB=λaB一0,,aA-B=0 (339 从而,可得到 a'[Bi AB AB]一aQ0 (340) 这意味着 rank<n即系统为不完全能控。而这和已知条件相矛盾,因而反设不成立, 必要性得证。 对充分性的证明可按与上相反的思路来进行,具体推证过程略去。从而,整个证明完 成
结论5[约当规范彩判据】线性定常系统(37)为完全能控的充分必要条件是 (1)当矩阵4的特征值4y,b为两两相异时,为由(37导出的对角线规范 形 B (344 中,百不包含元素全为墨的行。 (2)当矩阵A的特征值为λ(重),a(重),λ重),且(1十a+…+ a)〓n时,为对(37)导出的约当规范形 北〓A+Ba (342)
其中 B B (343 (axp) B i J B iX·i J k B i cnit (谈xP) 而(a+ra+…+rm)=,由B(=1,2,…,a)的最厅一行所组成的矩阵 b viI 对主1,2,b均为行线性无关