《现代控制理论》课程资源（教学讲义）第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制（2/2）

《现代控制理论基础》第五章(讲义) 56.3二次型最优控制问题 现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为 Ax+ Bi 确定最优控制向量 l(1)=-Kx() (521) 的矩阵K,使得性能指标 (5.22 达到极小。式中Q是正定(或正半定) Hermite或实对称矩阵,R是正定 Hermite 或实或实对称矩阵。注意,式(5.22)右边的第二项是考虑到控制信号的能量损 耗而引进的。矩阵φ和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此,假设控制 向量u(1)是不受约束的。 正如下面讲到的,由式(5.21)给出的线性控制律是最优控制律。所以,若 能确定矩阵K中的未知元素,使得性能指标达极小,则u()=-Kx()对任意初始 状态x(0)而言均是最优的。图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。 x= Ax +Bu 图5.6最优控制系统 现求解最优控制问题。将式(5.21)代入式(5.20),可得 x= Ax- bkx=(A- bk)x 在以下推导过程中,假设A-BK是稳定矩阵,A-BK的所有特征值均具有 负实部。 将式(5.21)代入(5.22),可得 J=("@x+x"K"RKx)dt (O+K RK)xdt 依照解参数最优化问题时的讨论,取

《现代控制理论基础》第五章(讲义) 1 5.6.3 二次型最优控制问题 现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为 x  = Ax + Bu (5.20) 确定最优控制向量 u(t) = −Kx(t) (5.21) 的矩阵 K，使得性能指标 (5.22) 达到极小。式中 Q 是正定（或正半定）Hermite 或实对称矩阵，R 是正定 Hermite 或实或实对称矩阵。注意，式(5.22）右边的第二项是考虑到控制信号的能量损 耗而引进的。矩阵 Q 和 R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制 向量 u(t) 是不受约束的。 正如下面讲到的，由式(5.21）给出的线性控制律是最优控制律。所以，若 能确定矩阵 K 中的未知元素，使得性能指标达极小，则 u(t) = −Kx(t) 对任意初始 状态 x(0)而言均是最优的。图 5.6 所示为该最优控制系统的结构方块图。 图 5.6 最优控制系统 现求解最优控制问题。将式(5.21）代入式(5.20），可得 x  = Ax − BKx = (A − BK)x 在以下推导过程中，假设 A − BK 是稳定矩阵， A − BK 的所有特征值均具有 负实部。 将式(5.21）代入（5.22），可得     = + = + 0 0 ( ) ( ) x Q K RK xdt J x Qx x K RKx dt H H H H H 依照解参数最优化问题时的讨论，取   = + 0 J (x Qx u Ru)dt H H

《现代控制理论基础》第五章(讲义) x(o+K RK)x=-(x" Px 式中的P是正定的 Hermite或实对称矩阵。于是 x"(O+K RK)x=-x Px=-x[(A-BK)"P+P(A-BK)x 比较上式两端,并注意到方程对任意x均应成立,这就要求 (A-BK)P+P(A-BK)=-0+K RK 根据 Lyapunov第二法可知,如果A-BK是稳定矩阵,则必存在一个满足式 (5.23)的正定矩阵P 因此,该方法由式(5.23)确定P的各元素,并检验其是否为正定的(注意, 这里可能不止一个矩阵P满足该方程。如果系统是稳定的,则总存在一个正定的 矩阵P满足该方程。这就意味着,如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P 该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P不是正定的,必须丢弃)。 性能指标可计算为 J=0x(+K"R)xd=-x"P=-x"()Px()+x"()P(O) 由于假设ABK的所有特征值均具有负实部,所以x(∞)→0。因此 J=x"(0)P2x(0) (5.24) 于是,性能指标J可根据初始条件x(0和P求得。 为求二次型最优控制问题的解,可按下列步骤操作:由于所设的A是正定 Hermite或实对称矩阵,可将其写为 R=TT 式中T是非奇异矩阵。于是,式(5.23)可写为 (A"-K BP+P(A-BK)+O+K T TK=0 上式也可写为 A"P+PA+ITK-(T)B" ITK-(T)B P]-PBR B"P+0=0 求J对K的极小值,即求下式对K的极小值 x"[TK-(T)-BPI"[TK-(T)B"PIx (见例5.21)。由于上面的表达式不为负值,所以只有当其为零,即当 TK=(T)B"P 时,才存在极小值。因此 K=T-TH) P=R-BP (5.25) 式(5.25)给出了最优矩阵K所以,当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22) 定义时,其最优控制律是线性的,并由 u(o)=-Kx(0=-R B"Px(o)

《现代控制理论基础》第五章(讲义) 2 ( ) (x Px) dt d x Q K RK x H H H + = − 式中的 P 是正定的 Hermite 或实对称矩阵。于是 x (Q K RK)x x Px x Px x [(A BK) P P(A BK)x] H H H H H H + = −  −  = − − + − 比较上式两端，并注意到方程对任意 x 均应成立，这就要求 (A BK) P P(A BK) (Q K RK) H H − + − = − + (5.23) 根据 Lyapunov 第二法可知，如果 A − BK 是稳定矩阵，则必存在一个满足式 (5.23）的正定矩阵 P。 因此，该方法由式(5.23）确定 P 的各元素，并检验其是否为正定的（注意， 这里可能不止一个矩阵 P 满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的 矩阵 P 满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵 P， 该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵 P 不是正定的，必须丢弃）。 性能指标可计算为 ( ) ( ) ( ) (0) (0) 0 0 J x Q K RK xdt x Px x Px x Px H H H H H = + = − = −   +    由于假设 A-BK 的所有特征值均具有负实部，所以 x() → 0 。因此 J x (0)Px(0) H = (5.24) 于是，性能指标 J 可根据初始条件 x(0)和 P 求得。 为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的 A 是正定 Hermite 或实对称矩阵，可将其写为 R T T H = 式中 T 是非奇异矩阵。于是，式(5.23）可写为 (A − K B )P + P(A− BK) + Q + K T TK = 0 H H H H H 上式也可写为 [ ( ) ] [ ( ) ] 0 1 1 1 + + − − − + = − − − A P PA TK T B P TK T B P PBR B P Q H H H H H H H 求 J 对 K 的极小值，即求下式对 K 的极小值 x TK T B P TK T B P x H H H H H H [ ( ) ] [ ( ) ] −1 −1 − − (见例 5.21)。由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当 TK T B P H 1 H ( ) − = 时，才存在极小值。因此 K T T B P R B P 1 H 1 H 1 H ( ) − − − = = (5.25) 式(5.25）给出了最优矩阵K。所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22） 定义时，其最优控制律是线性的，并由 ( ) ( ) ( ) 1 u t Kx t R B Px t − H = − = −

《现代控制理论基础》第五章(讲义) 给出。式(5.25)中的矩阵P必须满足式(5.23),即满足下列退化方程 P+PA- P+0=0 式(5.26)称为退化矩阵黎卡提方程,其设计步骤如下: 1、求解退化矩阵黎卡提式(5.26),以求出矩阵P。如果存在正定矩阵P(某 些系统可能没有正定矩阵P),那么系统是稳定的,即矩阵A-BK是稳定矩阵。 2、将矩阵P代入式(5.25),求得的矩阵K就是最优矩阵。 例5.9是建立在这种方法基础上的设计例子。注意。如果矩阵A-BK是稳 定的,则此方法总能给出正确的结果。 确定最优反馈增益矩阵κ还有另一种方法,其设计步骤如下: 1、由作为K的函数的式(5.23)中确定矩阵P。 2、将矩阵P代入式(5.24),于是性能指标成为K的一个函数。 3、确定K的各元素,使得性能指标为极小。这可通过令∂J/∂k,等于零, 并解出k的最优值来实现J对K各元素k为极小。 这种设计方法的详细说明见例5.1和5.12。当元素k的数目较多时,该方 法很不便。 如果性能指标由输出向量的形式给出,而不是由状态向量的形式给出,即 则可用输出方程 来修正性能指标,使得J为 J=「(x"C"QCx+u"Ran)d (5.29) 且仍可用本节介绍的设计步骤来求最优矩阵K [例5.9]研究如图5.7所示的系统。假设控制信号为 l(1)=-kx(1) 试确定最优反馈增益矩阵A,使得下列性能指标达到极小 Ox +udt 式中 ≥0 由图5.7可看出,被控对象的状态方程为

《现代控制理论基础》第五章(讲义) 3 给出。式(5.25）中的矩阵 P 必须满足式(5.23），即满足下列退化方程 0 1 + − + = − A P PA PBR B P Q H H (5.26) 式(5.26）称为退化矩阵黎卡提方程，其设计步骤如下： 1、求解退化矩阵黎卡提式(5.26），以求出矩阵 P。如果存在正定矩阵 P（某 些系统可能没有正定矩阵 P），那么系统是稳定的，即矩阵 A − BK 是稳定矩阵。 2、将矩阵 P 代入式(5.25），求得的矩阵 K 就是最优矩阵。 例 5.9 是建立在这种方法基础上的设计例子。注意。如果矩阵 A − BK 是稳 定的，则此方法总能给出正确的结果。 确定最优反馈增益矩阵 K 还有另一种方法，其设计步骤如下： 1、由作为 K 的函数的式(5.23）中确定矩阵 P。 2、将矩阵 P 代入式(5.24）,于是性能指标成为 K 的一个函数。 3、确定 K 的各元素，使得性能指标为极小。这可通过令 ij  J /  k 等于零， 并解出 ij k 的最优值来实现 J 对 K 各元素 ij k 为极小。 这种设计方法的详细说明见例 5.11 和 5.12。当元素 ij k 的数目较多时，该方 法很不便。 如果性能指标由输出向量的形式给出，而不是由状态向量的形式给出，即   = + 0 J ( y Q y u Ru)dt H H 则可用输出方程 y = Cx 来修正性能指标，使得 J 为 (5.29) 且仍可用本节介绍的设计步骤来求最优矩阵 K。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.9] 研究如图 5.7 所示的系统。假设控制信号为 u(t) = −Kx(t) 试确定最优反馈增益矩阵 K，使得下列性能指标达到极小 J x Qx u dt T   = + 0 2 ( ) 式中 , 0 0 1 0        =   Q 由图 5.7 可看出，被控对象的状态方程为 x  = Ax + Bu   = + 0 J (x C QCx u Ru)dt H H H

《现代控制理论基础》第五章(讲义) 式中 A B Plant K 图5.7控制系统 以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。求解 (5.26),将其重写为 A"P+PA-PBr-B P+O=0 注意到A为实矩阵,Q为实对称矩阵,P为实对称矩阵。因此,上式可写为 00P1P2.「P1P20 10P2P2LP2P200 P1P20 ]o 1] Pu pr P12 p P2P2」[04」[00 该方程可简化为 001.0P1p2P2P2 P1P2」10P2」LP2P2p2 由上式可得到下面3个方程 p2=0 P1-p12P2=0 +2p12-p2=0 将这3个方程联立,解出p1、P2、P2,且要求P为正定的,可得 P11P12 +2 P12P2 参照式(5.25),最优反馈增益矩阵K为 K=PB P

《现代控制理论基础》第五章(讲义) 4 式中       =       = 1 0 , 0 0 0 1 A B 图 5.7 控制系统 以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。求解 (5.26），将其重写为 0 1 + − + = − A P PA PBR B P Q H H 注意到 A 为实矩阵，Q 为实对称矩阵，P 为实对称矩阵。因此，上式可写为          =      +                  −             +            0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 p p  p p p p p p p p p p p p p p 该方程可简化为       =       +      −      +      0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 12 22 22 12 22 2 12 12 11 11 12 p p p  p p p p p p p 由上式可得到下面 3 个方程 1 0 2 − p12 = p11 − p12 p22 = 0 2 0 2  + p12 − p22 = 将这 3 个方程联立，解出 11 p 、 12 p 、 22 p ，且要求 P 为正定的，可得         + + =      = 1 2 2 1 12 22 11 12   p p p p P 参照式(5.25）,最优反馈增益矩阵 K 为 K P B P −1 H =

《现代控制理论基础》第五章(讲义) [Io 1] Pn Pia =[P12P2 ly4+2] 因此,最优控制信号为 l=-Kx=-x1-√4+2x2 (5.28) 注意,由式(5.28)给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指标下都能 得出最优结果。图5.8是该系统的方块图 对象 图5.8图5.7所示对象的最优控制 5.7二次型最优控制问题的 MATLAB解法 在 MATLAB中,命令 lgr(A, B,o,R) 可解连续时间的线性二次型调节器问题,并可解与其有关的黎卡提方程。该命令 可计算最优反馈增益矩阵K,并且产生使性能指标。 J=L(xOx+uRu ) dt 在约束方程 x= Ax+ Bi 条件下达到极小的反馈控制律 Kx 另一个命令 [K, P,E]=lqr(A, B, @ R) 也可计算相关的矩阵黎卡提方程

《现代控制理论基础》第五章(讲义) 5    [1 2] [ ] 1 0 1 12 22 12 22 11 12 = + =       =  p p p p p p 因此，最优控制信号为 1 2 2 u = −Kx = −x −  + x (5.28) 注意，由式(5.28）给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指标下都能 得出最优结果。图 5.8 是该系统的方块图。 图 5.8 图 5.7 所示对象的最优控制 ------------------------------------------------------------------ 5.7 二次型最优控制问题的 MATLAB 解法 在 MATLAB 中，命令 lqr(A,B,Q, R) 可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令 可计算最优反馈增益矩阵 K，并且产生使性能指标。   =  +  0 J (x Qx u Ru)dt 在约束方程 x  = Ax + Bu 条件下达到极小的反馈控制律 u = −Kx 另一个命令 K,P,E = lqr(A,B,Q,R) 也可计算相关的矩阵黎卡提方程