第10章线性系统的多项式矩阵描述 10.1多项式矩阵描述 ·前已讲过,多项式矩阵描述(PMD) P(SEs=Q(S)u(s) y(s=R(s)E(s)+w(su(s) 它是系统的内部描述,是最一般的描述。 ·不可简约PMD P(s),Qs)}左互质,且{P(s),R(s)}右互质 不可简约PMD不唯一 P(s)Q(S,R(s),Ws)}不可简约 →{U(sP(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约 U(s),V(s)为单模矩阵
第10章 线性系统的多项式矩阵描述 10.1 多项式矩阵描述 • 前已讲过，多项式矩阵描述（PMD） P(s)(s)=Q(s)u(s) y(s)=R(s) (s)+W(s)u(s) 它是系统的内部描述，是最一般的描述。 • 不可简约PMD {P(s)，Q(s)}左互质，且{P(s)，R(s)}右互质 • 不可简约PMD不唯一 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约 {U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约 U(s),V(s)为单模矩阵
由可简约PMD求不可简约PMD (1){P(s)Q(s)}非左互质,{P(S,R(s)}右互质 此时,P(s)Q(s)有非单模的gcld,设为H(s),非奇 则 P(S=H(SP(S) (S)=H(SO(S) P(s)Q(s)左互质 P(s)(、s)=Q(s)(s)两边左乘H(得 P(s)(s)=Q(s)(s) y()=R(S)S(S)+W(S)u(s) 不可简约 P(S) rankl 故P(S),R(s)右互质 R(S R(s
• 由可简约PMD求不可简约PMD （1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质 此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s), 非奇 则 , ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 故 右互质 不可简约 两边左乘 得 左互质 P s R s R s P s rank R s P s rank y s R s s W s u s P s s Q s u s P s s Q s u s H s P s Q s Q s H s Q s P s H s P s = = + = = = = −
(2)P(s)Q)左互质,P(s),R(s)非右互质 P(S,R(s)有非单模的gcrd,设为F(s),必非奇 P(S=P(SF(S) R(S=RSF(S) P(s),R(s)右互质 原描述可写成 P(SF(SE(s=Q(S)u(s) y(S)=R(SF(SS(S)+w(s)u(s) 设5(s)=F(S)(S),则 P(ss(s=Q(S)u(s) y(s)=R(SS(S)+w(s)u(s 不可简约 rnkP(s)]=mnk()s)]故P(Qs)左互质
(2) P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质 P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ), ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 故 左互质 不可简约 设 则 原描述可写成 右互质 rank P s Q s rank P s Q s P s Q s y s R s s W s u s P s s Q s u s s F s s y s R s F s s W s u s P s F s s Q s u s P s R s R s R s F s P s P s F s = = + = = = + = = =
(3)前两种情况的组合 P(S)Q(s)非左互质,消去其 gold H(s),得 H(SP(S(s)=H(SQ(Su(s) y()=R(SS(S)+W(S)u(s) 再消去H(s)P(s)和R(s)的 gord F(s),即做代换 5(S)=F(s)(S) H(SP(SF(s5(S)=H-(sQ(s)u(s) y(S)=R(S)F(s)2(s)+W(S)(s) P(s)=HSP(SF(S,O(s=H(SQ(S) R(S=R(SF-(S), W(s) P(s),Q(s),R(s),W()即为不可简约
（3）前两种情况的组合 P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得 即为不可简约 再消去 和 的 即做代换 ( ), ( )} ~ ( ), ~ ( ), ~ { ( ) ( ) ( ), ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ), ~ ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P s Q s R s W s R s R s F s W s P s H s P s F s Q s H s Q s y s R s F s s W s u s H s P s F s s H s Q s u s s F s s H s P s R s gcrd F s y s R s s W s u s H s P s s H s Q s u s − − − − − − − − − − − = = = = + = = = + =
102PMD的状态空间实现 定义 给定{P(sQ(s),R(s)W(s)},若能找到状态空间描述 ABC,E(p)},使 R(SP (SQ()+W(s=C(/-A)B+E(S) 则称{,B,C,E(p)}为给定PMD的实现 ·实现不唯一,有维数最小的一类实现,称为最小实现。最小 实现能控且能观,不同的最小实现间代数等价。 二.算法:以构造观测器形实现为最简便 已知:{P(S)Q(s)R(s),W(s)},求实现
10.2 PMD的状态空间实现 一. 定义 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述 {A,B,C,E(p)}，使 • 实现不唯一，有维数最小的一类实现，称为最小实现。最小 实现能控且能观，不同的最小实现间代数等价。 二 . 算法：以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现 { , , , ( )} . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 则称 A B C E p 为给定PMD的实现 R s P s Q s +W s = C sI − A B + E s − −