第六章数学基础:多项式矩阵理论 些基本概念(6,1,6,2,6.3,64,6.5,6.6) 多项式 d(s)=dm,s"+dms"+.+d, s+do d∈R,s∈C(变量) degd(s)=m1分dn≠0 dn=1首1多项式 多项式矩阵:元为多项式的矩阵 注1:多项式的集合不构成域,是环;因其对乘逆运算不 封闭; 注2:扩展成包括所有有理分式,则构成有理分工域, 记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和 有理分式矩阵
第六章 数学基础：多项式矩阵理论 § 一些基本概念（6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6) • 多项式： • 多项式矩阵： 元为多项式的矩阵 注1：多项式的集合不构成域，是环； 因其对乘逆运算不 封闭； 注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分工域， 记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和 有理分式矩阵。 首 多项式 变量 1 1 deg ( ) 0 , ( ) ( ) 1 0 1 1 = = = + + + + − − m m i m m m m d d s m d d R s C d s d s d s d s d
奇异和非奇异:对方多项式而言,Q( det(s)=0分Q(s)奇异; det(s)≠0分Q(s)非奇异; 此处0为有理分式域上的零元 det(s)是s的多项式对某此s可能为零 线性相关和线性无关: 对象是有理分式域中的一组多项式向量 当且仅当存在a(s)≠0使[()q2(3)…q(S)(s)=0成立 则称q1(S),q2(s)…,q2(s)线性相关 否则称其为线性无关(即等式仅对a()≡0成立)
• 奇异和非奇异：对方多项式而言，Q(s) • 线性相关和线性无关： 对象是有理分式域中的一组多项式向量 det ( ) , . 0 ; det ( ) 0 ( ) ; det ( ) 0 ( ) ; 是 的多项式 对某此 可能为零 此处 为有理分式域上的零元 非奇异 奇异 Q s s s Q s Q s Q s Q s = , ( ( ) 0 ). ( ), ( ), , ( ) . ( ) 0, [ ( ), ( ), , ( )] ( ) 0 , 1 2 1 2 否则 称其为线性无关 即等式仅对 成立 则称 线性相关 当且仅当存在 使 成立 = s q s q s q s s q s q s q s s p p
注意: a(s)的值域 讨论q(s)q2(S)…,qn(S)线性相关或无关时a(s)取为多项式 在[R(s),R(s)上线性相关,不一定在[R"(s),R止上线性相关 例 q()=+2s-1]2(s)=2+3s+22-1 取a(s)=S+,a2(s) 则a(s)q1(s)+a2(s)q2(s)=0 按定义,q(s),q2(s)线性相关 若a1(s)a2(s)限定为实数,则仅当a(s)=a2(s)=0时, aq(s)+a2q2(s)=0,按定义,线性无关 故,讨论线性相关和无关时,必须指明a的值域
注意： , , . ( ) ( ) 0, , . ( ), ( ) , ( ) ( ) 0 , , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1, ( ) 1, ( ) 2 1 , ( ) 3 2 1, : [ ( ), ( )] , [ ( ), ] . ( ), ( ), , ( ) ( ) . ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 故 讨论线性相关和无关时 必须指明 的值域 按定义 线性无关 若 限定为实数 则仅当 时 按定义 线性相关 则 取 例 在 上线性相关 不一定在 上线性相关 讨论 线性相关或无关时 取为多项式 的值域 + = = = + = = + = − = + − = + + − q s q s s s s s q s q s s q s s q s s s s q s s s q s s s s R s R s R s R q s q s q s s s p p p
秩:与通常矩阵秩的定义相同 (1)Q(s)非零,1≤rmkQ(s)≤mn(q,p); (2)rmkQ(s)=r台Q(s)有且仅有r个列行线性无关 (3)Q(s满秩分→rmkQ(s)=mi(q,p) (4)Q(s),Q(s)非奇异分 ranko(s)=p;Q(s)奇异台 ranko(s)<p; (5)Q(s)前乘或后乘非奇异多项式矩阵,其秩不变,即 rank(s)=rankpaxo (s)o(s=ranksrox(s) (6rankosr(s)smin ranke(s), rank(s)
• 秩：与通常矩阵秩的定义相同 (6) ( ) ( ) min[ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) ( ) , , (4) ( ), ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; (3) ( ) ( ) min( , ); (2) ( ) ( ) ( ) ; (1) ( ) ,1 ( ) min( , ); rankQ s R s rankQ s rankR s rankQ s rankP s Q s rankQ s R s Q s Q s Q s rankQ s p Q s rankQ s p Q s rankQ s q p rankQ s r Q s r Q s rankQ s q p q q p p q p p p = = = = = 前乘或后乘非奇异多项式矩阵 其秩不变 即 非奇异 奇异 满秩 有且仅有 个列 行 线性无关 非零
单模矩阵:一类特殊的多项式矩阵 方阵,非奇异 方多项式矩阵Q(s),若detQ(s)是独立于s的一个非零常 数,则称其为单模矩阵。 性质 (1)Q(s)为单模阵◇→Q(s)的逆也是多项式矩阵; (2)Q(s)为单模阵→Qs)非奇异; (3)单模矩阵的逆阵也是单模矩阵; (4)单模矩阵的乘积也是单模矩阵, 初等变换 (1)行(列)交换; (2)用一非零实或复数乘以某行或列; (3)用某行(列)乘以一个多项式加到另一行(列)上
• 单模矩阵：一类特殊的多项式矩阵 方阵，非奇异 方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s的一个非零常 数，则称其为单模矩阵。 性质： （1）Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵； （2） Q(s)为单模阵Q(s)非奇异； （3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵； （4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。 • 初等变换： （1）行（列）交换； （2）用一非零实或复数乘以某行或列； （3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上