7.传递函数矩阵的矩阵分式描述 基本概念 G(s)axp N(SounD( P×p A(SoxaB(s) MFD的次数定义为其“分母矩阵”的行列式的次数 若N(s)D(s)为G()的一个右MFD,即G(s)=N(s)D(s) 则N(S)W(s)[D(s)W(s)也是G(s一个右MFD 因此,一个已知的G(s),其MFD表达不唯一,其次数 也不唯 在G(s)的所有MFD中,次数最小的MFD称为最小阶 MFD,它也不唯
7. 传递函数矩阵的矩阵分式描述 一. 基本概念 • MFD的次数定义为其“分母矩阵”的行列式的次数。 • 因此，一个已知的G(s)，其MFD表达不唯一，其次数 也不唯一。 • 在G(s)的所有MFD中，次数最小的MFD称为最小阶 MFD，它也不唯一。 q q q p q p q p p p A s B s G s N s D s − − = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) . ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ), 1 1 1 N s W s D s W s G s MFD N s D s G s MFD G s N s D s 则 也是 的一个右 若 为 的一个右 即 − − − =
在G(s)=N(s)D(s)中,若N(s),D(s)是右互质的,则它 是最小阶的反之亦成立 若N(s)D(s)非互质消去最大公因子,可得最小阶MFD 对N(s),DS)已互质的最小阶MFD,最大公因子是单模阵, 其行列式为非零常数,不影响G(s)的阶次 G(s)=N(s)(s)D(s)(s)(U(s)单模)也是最小阶 的故最小阶MFD也不唯一,但次数不变 对互质的MFD(也称为不可简约分式描述)最感兴趣要 着重研究 只有正则的G(S)是物理可实现的因而着重研究正则有 理矩阵G(s)的不可简约矩阵分工描述 对非正则的情形,即 G(s)=N(s)D(s)并正则,类似于SSO,总有 G(S=N(SD(S)=R(SD(S)+Q(s) 格正则 多项式矩阵
在 中,若N(s),D(s)是右互质的,则它 是最小阶的.反之亦成立. 若N(s),D(s)非互质,消去最大公因子,可得最小阶MFD. • 对N(s),D(s)已互质的最小阶MFD,最大公因子是单模阵, 其行列式为非零常数,不影响G(s)的阶次. 也是最小阶 的,故最小阶MFD也不唯一,但次数不变. 对互质的MFD(也称为不可简约分式描述)最感兴趣.要 着重研究. 只有正则的G(s)是物理可实现的,因而着重研究正则有 理矩阵G(s)的不可简约矩阵分工描述. 对非正则的情形,即 ( ) ( ) ( ) 1 G s N s D s − = ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ( ) ) G s = N s U s D s U s −1 U s 单模 严格正则 多项式矩阵 非正则 类似于 总有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 1 1 1 G s N s D s R s D s Q s G s N s D s SISO = = + = − − −
二不可简约矩阵分式描述 G(s)的右互质和左互质MFD统称为G(s)的不可简约MFD 1.性质 (1)不可简约MFD不唯一。所有左(或右)不可简约MFD 之间通过单模矩阵联系。在这个意义上,亦称其为广 义唯一的。 即 设G(s)=N(s)D1()=N2(s)D2(s)不可简约 则D(S)=D2(s)U(s) N1(S)=N2(S)U/(S) U(s)为单模矩阵
二.不可简约矩阵分式描述 G(s)的右互质和左互质MFD,统称为G(s)的不可简约MFD. 1. 性质 (1)不可简约MFD不唯一。所有左（或右）不可简约MFD 之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其为广 义唯一的。 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 为单模矩阵 则 设 不可简约 即 U s N s N s U s D s D s U s G s N s D s N s D s = = = = − −
证明 N1(s)D1()=N2(S)D2(s) N1(S)=N2(S)D2(s)D(s) 设D2(s)D()=U(s只要证U(s)为单模矩阵 甲证U(s),U(s)都是多项式矩阵 已知N2(S,D2(s)右互质,由贝佐特等式判据,有 X(s)D2(s)+Y(s)N2(s)= 将D2(s)=D()(s),N2(s)=N1(sU-()代入 [X(s)D(s)+Y(s)N(s)(s)=1 U(s)=X(s)D()+Y(s)N(s)是多项式矩阵 同理由N(s),D(S)右互质可得U(s)为多项式矩阵 故U/(s)是单模矩阵
( ) . , ( ), ( ) , ( ) . ( ) ( ) . ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )] ( ) ~ ( ) ( ) ~ [ ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ), ( ) , , ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 故 是单模矩阵 同理 由 右互质 可得 为多项式矩阵 是多项式矩阵 将 代入 已知 右互质 由贝佐特等式判据 有 即证 都是多项式矩阵 设 只要证 为单模矩阵 证明 U s N s D s U s U s X s D s Y s N s X s D s Y s N s U s I D s D s U s N s N s U s X s D s Y s N s I N s D s U s U s D s D s U s U s N s N s D s D s N s D s N s D s − − − − − − − − − = + + = = = + = = = =
(2)所有的可简约MFD,如N(s)D(s)都可通过不可简约 的MFD如N(s)D(s)得到。即总有多项式矩阵T(s) (不是单模矩阵),使 N(S)=N(ST(S) D(S)=D(ST(S) 说明:N(s)D()可简约,其最大公因子R(s)不 是单模矩阵,但非奇。提出并约去R(S),可得一互质的 即不可简约的MFD。这样得到的不可简约的MFD很可 能不同于给定的N(s)D(s),但其只差一个单模矩阵 U(s),由此单模矩阵和R(s)即可构造出TS)=U(s)R(s) (3)所有的不可简约MFD, G(s)=N(s)D1(s),i=1,2 分子N(s),i=1,2,…具有相同的Smi形(不变多项式相同) 分母D(si=1,2,…具有相同的不变多项式
(2)所有的可简约MFD,如 都可通过不可简约 的MFD如 得到。即总有多项式矩阵T(s) （不是单模矩阵）,使 说明： 可简约，其最大公因子R(s)不 是单模矩阵，但非奇。提出并约去R(s)，可得一互质的， 即不可简约的MFD。这样得到的不可简约的MFD很可 能不同于给定的 ，但其只差一个单模矩阵 U(s)，由此单模矩阵和R(s)即可构造出T(s)=U(s)R(s). (3)所有的不可简约MFD， ( ) ( ) 1 N s D s − ( ) ( ) 1 N s D s − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D s D s T s N s N s T s = = ( ) ( ) 1 N s D s − ( ) ( ) 1 N s D s − 分母 具有相同的不变多项式 分子 具有相同的 形 不变多项式相同 ( ), 1,2, ( ), 1,2, ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, 1 = = = = − D s i N s i Smith G s N s D s i i i i i