f(x)如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f（）的近似值，这样导出f(b)f(a)的求积公式，就是我们所熟悉的梯形公式：bab-aT[f(a)+ f(b))2a+b的“高度”f(c)近似地取代平均高如果改用区间中点c2度f（），则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：a+bR=(b-a)f2还有一个常见的辛普森(Simpson)公式：b-aa+bf(a)+4flS+ f(b)上页=6下页返园
上页 下页 返回 如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术 平均作为平均高度f ( ξ ) 的近似值，这样导出 的求积公式 ，就是我们所熟悉的梯形公式： [ ( ) ( )] 2 f a f b b a T 2 ( ) a b R b a f ( ) 2 ( ) 4 6 f b a b f a f b a S 还有一个常见的辛普森(Simpson)公式： 2 a b c 如果改用区间中点 的“高度”f (c)近似地取代平均高 度f ( ξ )，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)： f(x) a b f(a) f(b)
更一般地，我们可以在区间[a，b上适当选取某些节点xk，然后用f(x)加权平均得到平均高度f(）的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式ZAsf(x)f'f(x)dx~k=0式中x称为求积节点；A,称为求积系数，亦称为伴随节点x的权权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式.这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿一莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。上页下页返园
上页 下页 返回 更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk，然 后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f ( ξ )的近似值，这样构造出的求 积公式具有下列形式 式中 xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称为伴随节点 xk 的 权．权Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的具 体形式． b a n k k xk f x x A f 0 ( )d ( ) 这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问 题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求 原函数的困难．
二、代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念。ZA.(x)C" f(x)dx ~定义若求积公式k=0对任意次数不超过m次的多项式P(x)(i≤m)都准确成立即[" P,(x)dx =ZA,P,(xx)i=0,1,,mk=0但对m+1次多项式却不能准确成，即只要nZAx!xm+ldx +上页0k=0下页则称该求积公式具有m次的代数精度。返回
上页 下页 返回 b a f (x)dx n k k xk A f 0 ( ) 对任意次数不超过m次的多项式P (x) (i m)都准确成立, i 但对m 1次多项式却不能准确成立,即只要 b a 即 Pi (x)dx n k Ak Pi xk 0 ( ) i 0,1, ,m b a m x dx 1 n k m Ak xk 0 1 则称该求积公式具有m次的代数精度。 若求积公式 二、代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然 希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就 提出了所谓代数精度的概念． 定义