数学文化论十九讲 天才，也会去研究令专业数学家和科学家感到十分激动的问题。但是，那些 “业余爱好者”和数学家们一般并不十分关心他们工作的实用价值。 实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成。把这些 做出贡献、产生影响的因素中的任何一个除去，或者拾高一个而去贬低另外 一个都是不可能的，甚至不能断定这些因素中谁具有相对的重要性。一方 面，对美学和哲学因素做出反应的纯粹思维决定性地塑造了数学的特征，并 且做出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。另一方面，数学家们 登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步一步攀登，而是借助于社会力量的 推动，如果这些力量不能为数学家们注入活力，那么他们就立刻会身疲力 竭，然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立的境地。虽然在短时期内还 有可能光芒四射，但所有这些成就会是昙花一现。 数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和 传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语 言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言 则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁 性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出 来，就会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率··· 简洁的符号能够使数学家们进行复杂的思考时应付自如，但也会使门 外汉听数学讨论如堕万里云雾。 数学语言中使用的符号十分重要，它们能区别日常语言中经常引起混 乱的意义… 数学语言是精确的，它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有形 式的人觉得莫名其妙··数学的这种精确 性，在-一个还没有认识到它对于精密思维的重 要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥 于形式。然而任何精密的思维和精确的语言都 是不可分割的。 毕达哥拉斯定理数学风格以简洁和形式 的完善作为其目标，但有时由于过分地拘泥于 形式上的完美和简洁，以致丧失了精确竭力要 达到的清晰。假定我们想用一般术语表述图示 -22- 4
第二讲名家论数学文化 的内容，我们很有可能说：“有一个直角三角形，画两个以该三角形的直角边 作为其边的正方形，然后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形，那么 第三个正方形的面积就等于前面两个正方形面积之和。”但是没有一个数学 家会用这样的方式来表达自己的想法。他会这样说：“直角三角形直角边的 平方和等于斜边的平方。”这种简洁的用词使表述更为精练，而且这种数学 表达式具有重要的意义，因为它的确是言简意赅。还有，由于这种惜墨如金 的做法，任何数学文献的读者有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着 丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家 和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说：满足了人类探索宇 宙的好奇心和对美妙音乐的冥想，甚至可能有时以难以察觉到的方式但无 可置疑地影响着现代历史的进程。在最广泛的意义上说，数学是一种精神， 一种理性的精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程 度。也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，试图 回答有关人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探求和 确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。 数学还有一个更加典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富 有生命力的树，它随着文明的兴衰而荣枯。它从史前诞生之时起，就为自己 的生存而斗争，这场斗争经历了史前的几个世纪和随后有文字记载历史的 几个世纪，最后终于在肥沃的希腊土壤中扎稳了生存的根基，并且在一个较 短的时期里茁壮成长起来了。在这个时期，它绽出了一朵美丽的花一欧氏 几何，其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔细观察，还可以看到三角和代数学 的维形，但是这些花朵随着希腊文明的衰亡而枯萎了，这棵树也沉睡了一千 年之久。 这就是数学那时的状况。后来这棵树被移植到了欧洲本土，又一次很好 地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又获得了在古希腊顶峰时期曾 有过的旺盛的生命力，而且准备开创史无前例的光辉灿烂的前景。如果我们 将17世纪以前所了解的数学称为初等数学，那么我们能说，初等数学与从 那以后创造出的数学相比是微不足道的。事实上，一个人拥有牛顿处于顶峰 时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。因为与普通的观点相 反，现在应该说数学是从微积分开始，而不是以此为结束。在我们这个世纪， -23-
数学文化论十九讲 这门学科已具有非常广泛的内容，以致没有任何数学家能够宣称他已精通 全部数学。 数学发展的这幅素描，尽管简略，但却表明数学的生命力正是根植于养 育她的文明的社会生活之中。事实上，数学一直是文明和文化的重要组成部 分，因此许多历史学家通过数学这面镜子，了解了古代其他主要文化的特 征。以古典时期的古希腊文化为例，它大约从公元前600年延续到公元前 300年。由于古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论，因此他们 所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理和激 发人们对理想与美的追求。因此，看到这个时代具有很难为后世超越的优美 文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻，也就不足为奇了。 二、齐民友论数学文化 齐民友(1930一)，我国著名数学家，数学教育家。1930年出生，安徽芜 湖人，1952年毕业于武汉大学数学系，一直在武汉大学数学系工作。教授，博 士生导师，主要从事偏微分方程研究。曾任武汉大学校长，国务院学位委员 会数学组成员，中国数学会副理事长，湖北省数学会理事长，1993一1997年 当选全国人民代表大会代表，人大常委会教科文卫委员会委员。 齐民友教授在他写的《数学与文化》一书的绪言中，论述了数学作为“现 代科学技术的语言和工具"的重要地位，分析了数学能够影响人类生活的几 个特点，高度评价了数学在促进人类思想解放、使人类摆脱宗教迷信等方面 的历史功绩，认为它最根本的特征是“表达了一种探索精神”，并把数学提高 到文化盛衰、民族兴亡的高度来认识。绪言是作者经过长期积累、深思熟虑 的结果，是全书的总论，逻辑严密，思考深刻，语言生动，充满激情，被选人高 三语文课本。下面的论述节选自齐民友教授《数学与文化》一书的绪言。 数学也是文化的一部分。数学和任何其他学科不同，它几乎是任何科学 所不可缺少的。没有任何一门科学能像它那样恩泽广布，遍及天下。它是现 代科学技术的语言和工具，这一点大概没有什么人会怀疑了。它的思想是许 多物理学说的核心，并为它们的出现开辟了道路，了解这一点的人就比较少 了。它曾经是科学革命的旗帜，现代科学之所以成为现代科学，第一个决定 性的步骤是使自己数学化。为什么会这样？因为数学在人类理性思维活动中 有一些特点。这些特点的形成离不开各个时代的总的文化背景，同时又是数 -24- 一
第二讲名家论数学文化 学影响人类文化最突出之点。我这里并不想概括什么是数学文化，而只是就 它对人类精神生活影响最突出之处提出一些看法。诚然，其他的学科也可能 有这些特点，但大抵是与受数学的影响分不开的。 首先，它追求一种完全确定、完全可靠的知识。例如说，欧几里德平面上 的三角形内角和为180°，这绝不是说“在某种条件下”，“绝大部分”三角形的 内角和“在某种误差范围内”为180°，而是在命题的规定范围内，一切三角形 的内角和不多不少为180°。产生这个特点的原因可以由其对象和方法两个 方面来说明。从希腊的文化背景中形成了数学的对象并不只是具体问题，数 学所探讨的不是转瞬即逝的知识，而是某种永恒不变的东西。所以，数学的 对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，并服 从明确无误的推理规则，借以达到正确的结论。通过纯粹的思维竟能在认识 宇宙上达到如此确定无疑的地步，当然会给一切需要思维的人以极大的启 发。人们自然会要求在一切领域中都这样去做。正是因为这样，而且也仅仅 因为这样，数学方法既成为人类认识方法的一个典范，也成为人在认识字宙 和人类自己时必须持有的客观态度的一个标准。就数学本身而言，达到数学 真理的途径既有逻辑的方面也有直觉的方面，但就其与其他科学比较而言， 就其影响人类文化的其他部门而言，它的逻辑方法是最突出的。这个方法发 展成为人们常说的公理方法。迄今为止，人类知识还没有哪一个部门应用公 理方法得到如数学那样大的成功。但是，如果到今天某个知识部门还是只有 论断而没有论据，只是一堆相互没有逻辑联系的命题，前后又无一贯性，恐 怕是不会有人接受的了。每个论点都必须有根据，都必须持之有理。除了逻 辑的要求和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕 令、流行的风尚统统是没有用的。这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性 的思维去解开那伟大而永恒的谜一宇宙和人类的真面目是什么一是人 类文化发展到高度的标志。这个伟大的理性探索是数学发展必不可少的文 化背景，反过来也是数学贡献于文化最突出的功绩之一。 数学作为人类文化组成部分的另一个特点是它不断追求最简单的、最 深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本。所有这些研究都是在极抽象的 形式下进行的。这是一种化繁为简以求统一的过程。从古希腊起，人们就有 一个信念：冥冥之中最深处宇宙有一个伟大的、统一的、而且简单的设计图， 这是一一个数学设计图。在一切比较深入的科学研究后面，必定有一种信念驱 -25-
数学文化论十九讲 使我们，这个信念就是：世界是合理的，简单的，因而是可以理解的。对于数 学研究则还要加上一点：这个世界的合理性，首先在于它可以用数学来描 述。在古代，这个信念有些神秘色彩，可是发展到现代，科学经过了多次伟大 的综合：欧几里德的综合：牛顿的综合；麦克斯韦(1831一1879)的综合：爱 因斯坦(1879一1955)的综合：量子物理的综合（指以量子力学为核心的量 子物理学所取得的成就)：计算机的出现，哪一次不是或多或少遵循这个信 念？也许有例外：如达尔文(1809一1882)和孟德尔(1822一1884)提出的遗 传的分离定律和独立分配定律。但是今天已经开始，人们在用数学去讨论物 种的进化与竞争，讨论遗传的规律，人们会又一次看见宇宙的根本规律表现 为一种抽象的、至少是数学味很重的设计图。这不是幻想而是现实。DNA 的双螺旋结构是在卡文迪什(1731一1810)实验室（即英国剑桥大学的物理 系，筹建于1871年，是世界上最有声望的物理学研究和教育中心之一。这所 实验室是为纪念英国物理学家和化学家卡文迪什而命名的)完成。美国遗传 学家沃森(1928一)和英国物理学家克里克(1916一2004)根据英国晶体衍 射专家维尔金斯对脱氧核糖核酸(DNA)的X射线衍射资料，提出了DNA的 双螺旋结构模型，这也是一种把生命归结为最简单成分的不同位置、不同形 式、不同数量而成的数学味很重的结构。这种深层次的研究是能破除迷信 的，它鼓励人们按照最深刻的内在规律来考虑事物。我们为世界图景的精巧 和合理而欣喜，而惊呀！这种感情正是人类文化精神的结晶。数学正是在这 样的文化气氛中成长的，反过来她又推动这种文化气氛的发展。现在应该提 出的问题是，对这样一种信念应该怎样去估价？是否还应该同时也看到它的 不足的一面？从科学史看来，一直存在一种“还原”的倾向：把复杂的现象归 结为一些最简单最原始的因素的作用。物体分成了“质点”、“电荷”；分成了 分子、原子、亚原子的粒子；生物分成了细胞，然后又是细胞核、细胞质、染色 体…丰富无比、千差万别的世界的多样性似乎越来越被归纳为这些基本 的成分或称为宇宙的砖石在数量上、形状上、结构上的差别，这当然是数学 发挥作用的大好场所。同时也就产生了一种越来越深刻的疑问：大千世界真 是由这些最简单的成分叠加的吗？难道线性的叠加原理竟是宇宙的根本法 则吗？由一堆砖石固然可以建成宏伟的纪念碑，却也可以搭起一座马棚，它 们的区别究竟何在？可是，每一个从事数学研究的人仍然抱有下面的信念： 想解决这个更深刻的问题一我把它称为综合，而把那种还原的倾向称为 -26-