上海交通大学：《随机模拟方法与应用 Stochastic Simulation Methods and Its Applications》课程教学资源（学生作业）基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用——王思远

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究 及其在期权定价中的应用 班级：F1224002 姓名：王思远 学号：5122409025 1 Monte Carlo方法 蒙特卡罗Monte Carlo)方法于二十世纪四十年代作为一种以概率和统计理 论为指导思想的数值计算方法被首次提出，又被称为随机模拟方法或统计模拟方 法。蒙特卡罗同时也是位于欧洲摩纳哥的一个地名，是世界著名的赌城，蒙特卡 罗方法也正是借此而得名。 实际上，蒙特卡罗方法的起源可以追溯到1777年的蒲丰投针实验来求圆周 率，其实质上是通过大量的实验次数由频率来近似概率。蒙特卡罗方法将所求问 题与一定的概率模型联系起来，通过计算机反复产生模型中具有某种统计特征的 随机数来解决计算问题。当然，这样产生的随机数并不是真的随机数，通常被称 为伪随机数。在概率统计理论上，大数定律确保了蒙特卡罗了方法的收敛性，而 中心极限定理为蒙特卡罗方法提供了误差分析的途径。当代电子计算机的进步让 需要大量次数的实验成为可能，加速了蒙特卡罗方法的发展，使其被广泛应用于 金融、运筹、物理、生物等领域。下面将对Monte Carlo方法作简单的介绍。 1.1 Monte Carlo方法基本原理 以一个简单的积分计算来说明Monte Carlo方法的基本原理，例如 A-ff(x)dx (1.1) 这是计算函数f(x)在单位区域[0,1]上的积分值A。不能发现(1.1)等价于计 算数学期望 A=E[f(x)] (1.2) 其中变量X是服从0到1上的均匀分布，即X~U[0,1]。那么，我们首先通过随 机抽样以获得N个相互独立且来自[0,1]均匀分布的随机数X,X2,,X、,然后 计算函数fx)在各个随机数处的取值f(X),f(X2),,f(Xw),最后将这些函数值 累加并求其算术平均值，就可以得到A的Monte Carlo估计

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究 及其在期权定价中的应用 班级：F1224002 姓名：王思远 学号：5122409025 1 Monte Carlo 方法 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法于二十世纪四十年代作为一种以概率和统计理 论为指导思想的数值计算方法被首次提出，又被称为随机模拟方法或统计模拟方 法。蒙特卡罗同时也是位于欧洲摩纳哥的一个地名，是世界著名的赌城，蒙特卡 罗方法也正是借此而得名。 实际上，蒙特卡罗方法的起源可以追溯到 1777 年的蒲丰投针实验来求圆周 率，其实质上是通过大量的实验次数由频率来近似概率。蒙特卡罗方法将所求问 题与一定的概率模型联系起来，通过计算机反复产生模型中具有某种统计特征的 随机数来解决计算问题。当然，这样产生的随机数并不是真的随机数，通常被称 为伪随机数。在概率统计理论上，大数定律确保了蒙特卡罗了方法的收敛性，而 中心极限定理为蒙特卡罗方法提供了误差分析的途径。当代电子计算机的进步让 需要大量次数的实验成为可能，加速了蒙特卡罗方法的发展，使其被广泛应用于 金融、运筹、物理、生物等领域。下面将对 Monte Carlo 方法作简单的介绍。 1.1 Monte Carlo 方法基本原理 以一个简单的积分计算来说明 Monte Carlo 方法的基本原理，例如 A = f ( x)dx 0 1 ∫ (1.1) 这是计算函数 f (x) 在单位区域［0,1］上的积分值 A。不能发现（1.1）等价于计 算数学期望 A = E ⎡ f ( x) ⎣ ⎤⎦ (1.2) 其中变量 X 是服从 0 到 1 上的均匀分布，即 X ∼U[0,1] 。那么，我们首先通过随 机抽样以获得 N 个相互独立且来自［0,1］均匀分布的随机数 X1, X2 ,…, XN ，然后 计算函数 f (x) 在各个随机数处的取值 f (X1 ), f (X2 ),…, f (XN )，最后将这些函数值 累加并求其算术平均值，就可以得到 A 的 Monte Carlo 估计

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 (1.3) 当N取得足够大的时候，根据强大数定律A将会非常接近A的值并可以作为A 的近似值。 由上述这个简单的例子可以看出，如果想要利用Monte Carlo方法，最为重 要的一步是需要将所求解的问题转化为与之等价的概率统计问题，寻找到某个统 计量的数学期望恰好等于所求问题的值。下面给出一般情形下Monte Carlo方法 计算问题的步骤： 假设要计算的问题可以表示为如下形式 A=E[f(x)]=[f(x)dF(x) (1.4) 这里A是所要求的值，X是一个随机变量，f(x)是一个依赖于X的统计量，F(x) 是X的分布函数。 (1)依据概率分布函数F(x)产生N个样本点X,X2,,Xw。 (2)计算f(x)在这些样本点上的值f(X),fX2),f(Xw)。 (3)对N个值f(X),i=1,2,N进行求和并计算算术平均值A,作为A的估算值。 有以上步骤得到的统计估计量A,和所要求的A的近似程度与所取样本点的个数 N相关。 对任意的ε>0，满足 im P(Av-A<e)=1 (1.5) 即当N趋向于正无穷时，A,依概率收敛于A。 1.1.2 Monte Carlo方法的误差分析 假设f(X)满足E[f(X,)]=A,Var[f(X)]=o<∞，δ为显著水平，根据 中心极限定理，≥0 (1.6) 当N足够大时，有 mPA-4胎2子=1-6 (1.7)

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 2 Aˆ N D = 1 N f (Xi) i=1 N ∑ (1.3) 当 N 取得足够大的时候,根据强大数定律 Aˆ 将会非常接近 A 的值并可以作为 A 的近似值。 由上述这个简单的例子可以看出，如果想要利用 Monte Carlo 方法，最为重 要的一步是需要将所求解的问题转化为与之等价的概率统计问题，寻找到某个统 计量的数学期望恰好等于所求问题的值。下面给出一般情形下 Monte Carlo 方法 计算问题的步骤： 假设要计算的问题可以表示为如下形式 A = E ⎡ f (X) ⎣ ⎤⎦ = f ( x)dF( x) ∫ (1.4) 这里 A 是所要求的值，X 是一个随机变量，f(x)是一个依赖于 X 的统计量，F(x) 是 X 的分布函数。 （1）依据概率分布函数 F(x)产生 N 个样本点 X1, X2 ,…, XN 。 （2）计算 f(x)在这些样本点上的值 f (X1 ), f (X2 ),…, f (XN )。 （3）对 N 个值 f (Xi),i = 1,2,…,N 进行求和并计算算术平均值 Aˆ N 作为 A 的估算值。 有以上步骤得到的统计估计量 Aˆ N 和所要求的 A 的近似程度与所取样本点的个数 N 相关。 对任意的ε > 0 ，满足 lim N→∞ P Aˆ ( N − A < ε ) = 1 (1.5) 即当 N 趋向于正无穷时， Aˆ N 依概率收敛于 A。 1.1.2 Monte Carlo 方法的误差分析 假设 f (Xi) 满足 E ⎡ f (Xi) ⎣ ⎤ ⎦ = A ，Var⎡ f (Xi) ⎣ ⎤ ⎦ = σ A 2 < ∞ ，δ 为显著水平，根据 中心极限定理，∀uδ ≥ 0 lim N→∞ P Aˆ N − A σ A / N < uδ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = 1 2π e − x2 2 dx −uδ uδ ∫ (1.6) 当 N 足够大时，有 lim N→∞ P Aˆ N − A < σ Auδ N ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≅ 1 2π e − x2 2 dx −uδ uδ ∫ = 1−δ (1.7)

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 式(1.7)意味着 (1.8) 以概率1-6成立，(1.8)表明估计量A,收敛到A的速度的阶为O(N-),若用R 表示Monte Carlo方法的误差，则 R=alls (1.9) √W 在(1.9)中，随机变量的标准差σ，在求解问题的过程中未知的，尽管如此，若以 。,表示样本标准差，当N→∞时我们有g→1所以可以用G,代替。A, A (1.10) 因此，获得的函数值fX),f(X2),,fXw)不仅可以用于估计A,还可以用来 衡量Monte Carlo方法的误差。另外，由(1.9)可以看Monte Carlo方法的误差 R由标准差o,和样本点的个数N共同决定。误差形式o,I√W是Monte Carlo方 法区别于其它数值方法的最主要的特点。 从Monte Carlo方法的收敛速度的阶O(N-n),不难发现相比于其它数值方 法Monte Carlo方法在解决一维或者低维问题上其收敛速度比较慢，并不那么吸 引人。事实上，Monte Carlo方法大受欢迎的原因是它能够很容易地被拓展到解 决多维问题上，因为随着维数的增高Monte Carlo方法的误差仍然为o,I√N, 也就意味着此时其收敛速度的阶仍为O(N-),而与所求问题的维数无关，这是 其它数值方法难以相比的，也正是Monte Carlo方法的优势所在。 1.1.3 Monte Carlo方法在金融衍生品定价中的应用 假设y表示任意一个欧式衍生产品的价值，根据金融衍生产品定价理论，V 可以被表示为此产品在到期日回报的贴现的期望值，即 V=E[e"h(S,】 (1.11) 其中T是到期日，S,是标的变量在到期日的值，根据定价问题的不同S,可以是 一维变量或者是多维变量，r是无风险利率。是到期目的收益函数，最简单的

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 3 式(1.7)意味着 Aˆ N − A < σ Auδ N (1.8) 以概率1−δ 成立，(1.8)表明估计量 Aˆ N 收敛到 A 的速度的阶为O N−1/2 ( ) ，若用 R 表示 Monte Carlo 方法的误差，则 R = σ Auδ N (1.9) 在(1.9)中，随机变量的标准差σ A在求解问题的过程中未知的，尽管如此，若以 σ s 表示样本标准差，当 N → ∞ 时我们有 σ s σ A →1所以可以用σ s 代替σ A， σ s = 1 N −1 f (Xi) − Aˆ N ( ) 2 i=1 N ∑ (1.10) 因此，获得的函数值 f (X1 ), f (X2 ),…, f (XN )不仅可以用于估计 A，还可以用来 衡量 Monte Carlo 方法的误差。另外，由(1.9)可以看 Monte Carlo 方法的误差 R 由标准差σ A和样本点的个数 N 共同决定。误差形式σ A / N 是 Monte Carlo 方 法区别于其它数值方法的最主要的特点。 从 Monte Carlo 方法的收敛速度的阶O N−1/2 ( ) ，不难发现相比于其它数值方 法 Monte Carlo 方法在解决一维或者低维问题上其收敛速度比较慢，并不那么吸 引人。事实上，Monte Carlo 方法大受欢迎的原因是它能够很容易地被拓展到解 决多维问题上，因为随着维数的增高 Monte Carlo 方法的误差仍然为σ A / N ， 也就意味着此时其收敛速度的阶仍为O N−1/2 ( ) ，而与所求问题的维数无关，这是 其它数值方法难以相比的,也正是 Monte Carlo 方法的优势所在。 1.1.3 Monte Carlo 方法在金融衍生品定价中的应用 假设 y 表示任意一个欧式衍生产品的价值，根据金融衍生产品定价理论，V 可以被表示为此产品在到期日回报的贴现的期望值，即 V = E e−rT h S ⎡ ( T ) ⎣ ⎤ ⎦ (1.11) 其中 T 是到期日，ST 是标的变量在到期日的值，根据定价问题的不同ST 可以是 一维变量或者是多维变量，r 是无风险利率。h 是到期目的收益函数，最简单的

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 例子比如欧式看涨期权，K表示合约定价，则 h(S,)=(S,-K）=max(S,-K,0) (1.12) 金融衍生产品定价问题有了(1.11)这样的期望形式后，就可以利用Monte Carlo方法进行计算，其一般步骤如下： (1)在风险中性测度下根据相应的数学模型模拟出各标的变量在有效期内的样本 路径。 (2)根据收益函数计算在样本路径上的现金流并乘以贴现因子得到衍生产品在这 些路径上的价值。 (③)对所有模拟路径上得到的衍生产品的价值取算术平均值，最终得到其价值的 Monte Carlo估计。下面以欧式看涨期权为例来说明Monte Carlo方法在期权定 过程中的具体应用：假设股票价格&满足随机微分方程(SDE) =rdi+odw,(0≤1≤T） (1.13) S 其中，r是无风险利率，σ是股票价格的波动率，r和σ均为常数。T是到期日， W是标准Brown运动，即满足E(dW,)=O,Var(dW,)=dt。那么，在初始时刻欧 式看涨期权的价值为 V=E[e(S,-K)'] (1.14) 随机微分方程(1.13)的解为 号=8ew脚[-o+aw] (1.15) S。是初始时刻的股票价格，是已知的。如果用Z表示标准正态分布随机变量，那 么√TZ就和W,同分布，股票价格就可以又表示为 s.-S.exp(r-ja)rtaz (1.16) 根据(1.16)，就可以通过产生N个独立的标准正态分布随机数Z,Z,…Z、得 到在到期日T股票价格的N条样本路径 sm)=e脚[r-p+oiz] (1.17) 然后由(1.14)有 V.=e-(ST-K)" (1.18)

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 4 例子比如欧式看涨期权，K 表示合约定价，则 h S( T ) = S( T − K) + = max S( T − K,0) (1.12) 金融衍生产品定价问题有了(1.11)这样的期望形式后，就可以利用 Monte Carlo 方法进行计算，其一般步骤如下: (1)在风险中性测度下根据相应的数学模型模拟出各标的变量在有效期内的样本 路径。 (2)根据收益函数计算在样本路径上的现金流并乘以贴现因子得到衍生产品在这 些路径上的价值。 (3)对所有模拟路径上得到的衍生产品的价值取算术平均值，最终得到其价值的 Monte Carlo 估计。下面以欧式看涨期权为例来说明 Monte Carlo 方法在期权定 过程中的具体应用：假设股票价格&满足随机微分方程(SDE) dSt St = rdt +σdWt (0 ≤ t ≤ T ) (1.13) 其中，r 是无风险利率，σ 是股票价格的波动率，r 和σ 均为常数。T 是到期日， Wt 是标准 Brown 运动，即满足E(dWt) = 0,Var(dWt) = dt 。那么，在初始时刻欧 式看涨期权的价值为 V = E erT (ST − K) + ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ (1.14) 随机微分方程(1.13)的解为 ST = S0 exp r − 1 2 σ ⎛ 2 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ T +σWT ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.15) S0是初始时刻的股票价格，是已知的。如果用 Z 表示标准正态分布随机变量，那 么 T Z 就和WT 同分布，股票价格就可以又表示为 ST = S0 exp r − 1 2 σ ⎛ 2 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ T +σ T Z ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.16) 根据(1.16)，就可以通过产生 N 个独立的标准正态分布随机数Z1,Z2 ,…ZN 得 到在到期日 T 股票价格的 N 条样本路径 Si(T ) = S0 exp r − 1 2 σ ⎛ 2 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ T +σ T Zi ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ (1.17) 然后由(1.14)有 Vi = e−rT S( T − K) + (1.18)

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 对N条样本路径上相应的欧式看涨期权的值求平均得到欧式看涨期权的估计值 (1.19) 1.2 Monte Carlo方法中的方差减小技术 Monte Carlo方法的收敛速度与所求问题维数无关，使得Monte Carlo方法 在解决高维问题诸如多资产问题、多状态问题上具有其得天独厚的优势。尽管如 此，在金融衍生产品定价问题中，为了达到一定的精度要求，按照传统的Mote Crlo方法往往需要非常大的模拟次数(N足够大)，这将造成大量的计算时间消 耗，严重影响了计算成本。从Monte Carlo方法的误差形式可以发现，如果要增 加计算精度一位数字就要将N扩大100倍，也就需要增加100倍的工作量：反之， 在模拟次数不变的情况下，只需将标准差缩小10倍就可以达到同样的效果。因 此，为了提高Monte Carlo方法的计算效率，一些方差减小技术被应用于模拟过 程中。控制变量、对偶变量、重要抽样、分层抽样、匹配技术等都是常用的方差 减小技术。 1.2.1控制变量方法 控制变量技术是一种十分常用的方差减小方法，该方法的主要原理是充分利 用己经知道的量去缩小所求估计量的方差，因其思想简单、容易掌握且效果好 而被广泛使用。 假设我们的目标是估计随机变量Y的期望值E[Y],Y,Y2,Yw是N条路径的 模拟输出值，Y,是独立同分布的。由传统的Monte Carlo估计有 g=Y+r+...+Y (1.20) N 若在获得Y的同时也获得了另一个随机变量X的输出值，X,X2,,Xw, (X,Y)是独立同分布的，且E(X)=4,4为己知的，设 Y(a)=Y,-(X,-4 (1.21) 其中α是一个固定的常数，通过计算样本均值得 (a)=7-a(仅-川=2g-a(x-) (1.22) 1 Glasserman P.Monte Carlo Methods in Financial Engineering[M].Berlin:Springer,2004 5

基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 5 对 N 条样本路径上相应的欧式看涨期权的值求平均得到欧式看涨期权的估计值 Vˆ N = 1 N Vi i=1 N ∑ (1.19) 1.2 Monte Carlo 方法中的方差减小技术 Monte Carlo 方法的收敛速度与所求问题维数无关，使得 Monte Carlo 方法 在解决高维问题诸如多资产问题、多状态问题上具有其得天独厚的优势。尽管如 此，在金融衍生产品定价问题中，为了达到一定的精度要求，按照传统的 Monte Carlo 方法往往需要非常大的模拟次数(N 足够大)，这将造成大量的计算时间消 耗，严重影响了计算成本。从 Monte Carlo 方法的误差形式可以发现，如果要增 加计算精度一位数字就要将 N 扩大 100 倍，也就需要增加 100 倍的工作量；反之， 在模拟次数不变的情况下，只需将标准差缩小 10 倍就可以达到同样的效果。因 此，为了提高 Monte Carlo 方法的计算效率，一些方差减小技术被应用于模拟过 程中。控制变量、对偶变量、重要抽样、分层抽样、匹配技术等都是常用的方差 减小技术。 1.2.1 控制变量方法 控制变量1 技术是一种十分常用的方差减小方法，该方法的主要原理是充分利 用 已经知道的量去缩小所求估计量的方差，因其思想简单、容易掌握且效果好 而被广泛使用。 假设我们的目标是估计随机变量 Y 的期望值E[Y ] ，Y1,Y2 ,…,YN 是 N 条路径的 模拟输出值，Yi 是独立同分布的。由传统的 Monte Carlo 估计有 Y = Y1 +Y2 +!+YN N (1.20) 若在获得Yi 的同时也获得了另一个随机变量 X 的输出值， X1, X2 ,…, XN ， Xi ( ,Yi)是独立同分布的，且E(X) = µ ，µ 为已知的，设 Yi(α ) = Yi −α (Xi − µ) (1.21) 其中α 是一个固定的常数,通过计算样本均值得 Y (α ) = Y −α (X − µ) = 1 N (Yi −α (Xi − µ)) i=1 N ∑ (1.22) 1 Glasserman P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering[M]. Berlin: Springer, 2004