第二讲名家论数学文化 第二讲名家论数学文化 ●M.克莱因论数学文化 ●齐民友论数学文化 ●张奠宙论数学文化 -17-
数学文化论十九讲 第二讲 名家论数学文化 一、M克莱因论数学文化 M.克莱因(1908一1992)，美国当代数学家，数学史家、数学教育家，1908 年5月1日生于美国纽约市布鲁克林。1930年，他以优异的成绩毕业于纽约 大学，随之攻读硕士学位，并于1932年获学位，1936年获得博士学位。1936 年至1938年在普林斯顿高等研究院研究拓扑学，1938年回纽约大学任文理 学院教授，并在著名数学家库朗指导下研究应用数学。由于他在应用数学的 研究上取得重要成就，1946年起他担任库朗研究所电磁理论研究室主任达 20年之久。从1959年起，他还担任纽约布鲁克林大学文理学院数学系主任， 直到1970年退休。1976年他被纽约布鲁克林大学任命为荣誉教授。1992年 5月10日病逝于纽约，终年84岁。 M克莱因关于数学史的代表作是《古今数学思想》，关于数学批判的代 表作是《数学：确定性的丧失》，《西方文化中的数学》和《数学：文化修养的方 法》是他论述数学文化较早的两部书。 在《西方文化中的数学》这本书中，M克莱因说：“在西方文明中，数学一 直是一种主要的文化力量。”“数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方 法，摧毁和建构了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造 了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须 回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案…。”一句话，数学既是一 门科学，也是一门艺术，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，“数学在使 人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。” 他列举了历史上人们对数学的误解，在各个层面上论述了数学在人类文化 中的作用，对它的本质和应用作了精要的分析，他引用英国数学家、哲学家 和教育理论家怀特海(1861一1947)关于“阿基米德死于一个罗马士兵之 手”的精彩论述，将数学放在广阔的社会背景中来说明它的文化意义。凝练 数学文化本质，提升数学文化力量是M克莱因一生对数学教育所做的最主 -18-
第二讲名家论数学文化 要的贡献，而《西方文化中的数学》正是他的第一本著作，也是他除了《古今 数学思想》之外最著名的著作。下面的论述旁证博引，文质优美，说理透彻， 议论精辟，选自《西方文化中的数学》第一章导论：数学与文化一一是与非 的观念。 数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的 因素。这种观点在许多人看来是难以置信的，或者充其量来说也只是一种夸 张的说法。这种怀疑态度完全可以理解，它是一种普遍存在的对数学实质的 错误概念所带来的结果。 由于受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或 许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶 和对它的忽视。当有人对这种状况提出异议时，某些饱学之士可以得到权威 们的支持。基督教神学家、哲学家圣·奥古斯丁公元(354一430)说过：“好的 基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已经存在，数学家 们已经与魔鬼签订了协约，要使精神进入黑暗，把人投人地狱。”古罗马法官 则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”，应禁止他们“学习几何技艺和 参加当众运算像数学这样可恶的学问。”19世纪德国哲学家，唯意志论的创 始人叔本华(1788一1860)认为，人生就是苦难，他对科学研究评价不高，认 为科学研究是为了满足物质欲望。这位在现代哲学史上占有重要地位的哲 学家，也把算术说成是最低级的精神活动，他之所以持这种态度，是基于算 术能通过机器来运算这一事实。 由于学校数学教学的影响，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为 是正确的。但是一般人忽视数学的观点仍然是错误的。数学学科并不是一系 列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面，它们远不能代表数学，就 如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻 的内涵剥落后的产物，如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数 学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。因此，让 我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。 首先，数学主要是一种寻求众所周知的公理化思想的方法。这种方法包 括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作为推理基础 的公理，具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公理出发，推导出 结论。数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时以某 -19-
数学文化论十九讲 种不同的方式表述过：“数学家们像恋人…承认一位数学家的最初的原 理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论，从这一结论又推导出 其他的结论。” 仅仅把数学看作一种探求的方法，就如同把达·芬奇(1452一1519)《最 后的晚餐》看作是画布上颜料的组合一样。数学也是一门需要创造性的学科， 在预测能被证明的内容时和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的 直觉和想象。例如，牛顿(1643一1727)和开普勒(1571一1630)提出了行星 运动的三大定律，就是极富于想象力的人，这使得他们不仅打破了长期以来 僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念。在数学中，人的创造能力运用 的范围，只有通过检验这些创造本身才能决定。有些创造性成果将在后面讨 论，但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。 如果数学的确是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什 么呢？研究数学最明显的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因社会需 要而直接提出的问题。商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂 和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人类需要，数学能 对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程时代，数学被当作普遍工具 这一事实更是毋庸置疑。 数学的另外一个基本作用（的确，这一点在现代特别突出），那就是提供 自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论是物理学的基础。这些学科 的成就大小取决于它们与数学结合的程度。数学已经给互不关联的事实的 干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一系列彼此脱节 的观察研究纳入科学的实体之中。 智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励许多数学家研究数的 性质和几何图形，并且取得了富有创造性的成果。今天很受重视的概率论， 就开始于牌赌中的一个问题一—一场赌博在结束之前就被迫中止了，那么 赌注如何分配才合理？另外一个与社会需要或科学没有什么联系的最突出 的成就，就是由古代希腊人创造出来的，他们把数学转变成了抽象的、演绎 的和公理化的思想系统。事实上，数学学科中一些最伟大的成就一一射影几 何、数论、超穷数理论和非欧几何（一种不同于欧几里得几何学的几何体系 的简称，一般指罗巴切夫斯基的双曲几何和黎曼的椭圆几何，它们与欧氏几 何的最主要区别在于公理体系中采用了不同的平行公理)，这里我只提到我 -20-
第二讲名家论数学文化 们将要讨论的内容一都是为了解决纯智力的挑战。 进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求。罗素这位抽象数学思 想的大师曾直言不讳地说：数学，如果正确地看它，则具有…至高无上的 美一正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微 弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的 地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种 真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识一这些是 至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。 除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的 想象和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。如果美的组成和艺术 作品的特征包括洞察力和想象力，对称性和比例、简洁，以及精确地适应达 到目的的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术。 尽管历史已清楚地表明，上述所有因素推动了数学的产生和发展，但是 依然存在着许多错误的观点。有这样的指责（经常是用来为对这门学科的忽 视作辩解的)，认为数学家们喜欢沉湎于毫无意义的臆测：或者认为数学家们 是笨拙和毫无用处的梦想家。对这种指责，我们可以立刻作出使其无言以对 的驳斥。事实证明，即使是纯粹抽象的研究，也是有极大用处的，更不用说由 于科学和工程的需要而进行的研究了。圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）自 被发现两千多年来，曾被认为不过是“富于思辨头脑中的无利可图的娱乐”， 可是最终它却在现代天文学、仿射运动理论和万有引力定律中发挥了作用。 另一方面，一些“具有社会头脑”的作家断言：数学完全或者主要是由于 实际需要，如需要建筑桥梁、制造雷达和飞机而产生或发展的。这种断言也 是错误的。数学已经使这些对人类方便有用的东西成为可能，但是伟大的数 学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上。有些人对实际应用漠不 关心，这可能是因为他们成果的应用在几百年后才实现。毕达哥拉斯和柏拉 图的唯心主义数学玄想，比起货栈职员采用“+”号和“-”号的实际行动来（这 曾使某一作家深信“数学史上的一个转折点乃是由日常的社会活动所致"”)所 作的贡献要大得多。确实，几乎每一个伟大的人物所考虑的都是他那个时代 的问题，流行的观点会制约和限制他的思想。如果牛顿早生两百年，他很有 可能会成为一位出色的神学家。伟大的思想家追求时代智力风尚，就如同妇 女在服饰上赶时髦一样。即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的 -21-