第二讲名家论数学文化 分析仍然要靠数学，当代数学的发展将越来越证实这一点。 数学的再一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己。在发 挥自己力量的同时又研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反 思、不断批判自己，并且以此开辟自己前进的道路。它不断致力于分析自己 的概念，分析自己的逻辑结构。它不断地反思：自己的概念、自己的方法能走 多远？从希腊时代起，毕达哥拉斯相信数是万物的本原，认为宇宙即数（指自 然数)。可是，遇到了无理数，后来的希腊人只好采用不可公度理论（毕达哥拉 斯学派把那些能用整数之比表达的比称作可公度比，而把那些不能用整数 之比表达的比称作不可公度比)。他们认为不可公度（即相比的两个量不能用 一个公共度量单位量尽)就意味着不和谐、不完美，所以不去研究它。这实际 上是不承认无理数的存在，因为弄不清，就干脆不讲无理数。而讨论一般的 线段长，希腊人甚至不讲数，使希腊数学与其他民族一一例如中国一相比 呈现了缺点。但即便如此，也要保持高度严整，而不允许采取折衷主义的态 度。历史终于证明，正是希腊人开辟了研究无理数系的道路，他们研究数学， 却同时考虑数学研究的对象是否存在。希腊人考虑数学对象的存在问题，把 存在归结为可构造，然后就问：“用直尺与圆规经有限步骤去三等分任意角 可能吗”？因为弄不清是否可能，即没有构造的方法以证明三等分角的存在， 他们的几何学中干脆不讲一个角的三分之一，只讲平分线，从来不讲角三分 线。越向后面发展，数学就出现了越来越多的“不可能性”：x2+1=0不可能在 实数域中求解，五次以上的方程不能用根式求解。平行线公理能不能证明？ 到20世纪初才知道是既不能证明又不能否证。大家都说，数学最需要严格 性，数学家就要问什么叫严格性？大家都说，数学在证明一串串的定理，数学 家就要问什么叫做证明？数学越发展，取得的成就越大，数学家就越要问自 己的基础是不是巩固。越是在表面上看来没有问题的地方，越要找出问题 来。乘法明明是可以交换的，偏偏要研究不可交换的乘法。孟子自嘲地说： “予岂好辩哉？予不得已也”《孟子·滕文公下》，这是孟子回答别人问话的话 (别人问他：“外人皆称夫子好辩，敢问何也”，数学家只需要换一个字：“予岂 好·变'哉：予不得已也”！当然，任何科学要发展就要变。但是只是在与实际存 在的事物、现象或实验的结果发生矛盾时才变。唯有数学，时常是在理性思 维感到有了问题时就要变。而且，其他科学中“变”的倾向时常是由数学中的 “变”直接或间接引起的。当然，数学中许多重要的变是由于直觉地感到有变 -27- =一一一
数学文化论十九讲 的必要，感到只有变才能直视宇宙的真面目，但无论如何，是先从思维的王 国里开始变，即否定自己。这种变的结果时常是“从一无所有之中创造了新 的宇宙”。到了最后，数学开始怀疑起自己的整体，考虑自已的力量界限何 在。大概是到了19世纪末，数学向自己提出的问题是：“我真是一个没有矛 盾的体系吗？我真正提供了完全可靠、确定无疑的知识吗？我自认为是在追 求真理，可是‘真究竟是指什么？我证明了某些对象的存在，或者说我无矛 盾地创造了自己的研究对象，可是它们确实存在吗？如果我不能真正地把这 些东西构造出来，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一张空头支票，一张 没有银行的支票呢”？ 总之，数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶，吸收阳光。它不 断扩展自己的领地，在它的树干上有越来越多的鸟巢，它为越来越多的学科 提供支持，也从越来越多的学科中吸取营养。它又把自己的根伸向越来越深 的理性思维的土地中，使它越来越牢固地站立。从这个意义上来讲，数学是 人类理性发展最高的成就（或者再加上“之一”二字更好-一些）。数学深刻地影 响人类精神生活，可以概括为一句话，就是它大大地促进了人的思想解放， 提高与丰富了人类的整个精神水平。从这个意义上讲，数学使人成为更完 全、更丰富、更有力量的人。爱因斯坦说的“得到解放”，其实正是这个意思。 数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神。数 学的出现，确实是为了满足人类的物质生活需要。可是，离开了这种探索精 神，数学是无法满足人的物质需要的。“风调雨顺”是人类的物质生活不可少 的。可是“巫师”的“祈雨”不也是满足需要的“手段”之一吗？人总有一个信 念：宇宙是有秩序的。数学家更进一步相信，这个秩序是可以用数学表达的， 因此人应该去探索这种深层的内在的秩序，以此来满足人的物质需要。因 此，数学作为文化的一部分，其永恒的主题是“认识宇宙，也认识人类自己”。 在这个探索过程中，数学把理性思维的力量发挥得淋漓尽致。它提供了一种 思维的方法与模式，提供了一种最有力的工具，提供了一种思维合理性的标 准，给人类的思想解放打开了道路。现在人人都知道实验方法的重要性，但 是任何科学实验，离开了一定的逻辑思维，将是没有意义的。在伽利略(1564 一1642)的时代就是这样，他的许多实验都是所谓理想实验，在近代就更是 这样。在不同的时代有不同的文化，不同的民族有不同的文化。但是，数学在 文化中的这一地位是不可移易的，并且日益加强。有人认为数学是现代文化 -28-
第二讲名家论数学文化 的核心或基石，始终处于中心地位，而影响到人类知识的一切部门。似乎没 有必要去争这个“中心”或“核心”的地位，但是历史已经证明，而且将继续证 明，一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为 一种文化的民族也是注定要衰落的。 三、张奠宙论数学文化 张奠宙(1933一)，我国著名数学家，数学教育家。浙江奉化人，1933年 出生，1956年毕业于华东师范大学数学系数学分析研究生班，1986年任教 授，1999年当选为国际欧亚科学院院士。张奠宙教授长期致力于现代数学史、 数学教育、数学文化研究，著有《20世纪数学史话》、《20世纪数学经纬》、《数 学教育学导论》、《数学教育经纬》等著作，为推动我国数学教育、数学教育改 革、数学文化研究做了卓有成效的工作，是当代我国数学教育的领军人。 进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学 文化走进中小学课堂，渗人实际数学教学。那么，如何在中小学数学教学中 进行数学文化教育呢？张奠宙教授认为：应该从以下几个方面加以认识和 实施。 1.认识数学文化的民族性和世界性 每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的 数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是，它们之间有着明 显的差异。古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。 古希腊是奴隶制国家，当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（广 大奴隶不能享受这种民主)。男性奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战 争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理的因素。奴隶主 之间讲民主，往往需要通过说理说服对方，这也影响到学术，使学术上的辩 论风气十分浓厚。为了证明自己坚持的是真理，也就需要证明，先设一些人 人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为公理 的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。 中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气，但是没有实行古希腊 统治者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。春秋战国时期，也是知识 分子自由表达见解的黄金时代。当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君 王统治臣民、管理国家。因此，中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出 -29-
数学文化论十九讲 现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家 管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数 学可以说是“管理数学”和“工匠数学”，存在的形式则是官方的文书。 古希腊的文化时尚，是追求精神上的享受、获得对大自然的理解为最高 目标。因此，“对顶角相等”这样的命题，在《几何原本》里列人命题15，借助公 理3（等量减等量，其差相等）给予证明。在中国的数学文化里，不可能给这样 的直观命题留下位置。 但是，中国数学强调实用，在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解 方程的开方根法，以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算等也只能在中 国诞生，而为古希腊文明所轻视。 我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同时又必须 吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。当进入21世 纪的时候，我们作为地球村的村民，一定要融入世界数学文化，将民族性和 世界性有机地结合起来。 2.揭示数学文化内涵，走出数学孤立主义的阴影 数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观 念。据调查，学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的 游戏”。“数学遵循记忆事实—一运用算法一执行记忆得来的公式—算 出答案”的模式，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所 说，一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了。 数学的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的 语言、图表、符号表示，进行数学交流，通过理性思维，培养严谨素质，追求创 新精神，欣赏数学之美等等。 半个多世纪以前，德国数学家柯朗(1888一1972)在名著《数学是什么》 的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机，数学教学 有时竞变成一种空洞的解题训练，数学研究已出现一种过分专门化和过于 强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和 一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学 是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。” 2002年8月20日，丘成桐教授接受中央电视台《东方时空》栏目采访时 -30-
第二讲名家论数学文化 说：“我把《史记》当作歌剧来欣赏。由于我重视历史，而历史是宏观的。所以， 我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人的看法不一样。”这是一位 数学大家的数学文化阐述。 2002年8月21日，《文汇报》摘要刊出钱伟长的文章一《哥丁哈根学 派的追求》。其中提到：“这使我明白了：数学本身很美，然而不要被它迷了 路。应用数学的任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以 解决实际问题为己任的。从这个意义上讲，我们应该是解决实际问题的优秀 ‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而 不去解决实际问题的刀匠”。这是一个力学家的数学文化观。 和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数 学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏：另一方面，又孤芳自 赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱 的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，应使数学教 学变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。 3.多侧面地开展数学文化研究 谈到数学文化，往往会联想到数学史。确实，宏观地观察数学，从历史上 考察数学的进步，确实是揭示数学文化的重要途径。但是，除了这种宏观的 历史考察方法之外，还应该有微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、 数学思想中揭示数学的文化底蕴。下面阐述一些新视角，力求多侧面地展现 数学文化。 (1)数学和文学数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说，数学 中有“对称”，文学中则有“对仗”。对称是一种变换，变过去了却有些性质保 持不变。轴对称，即是依对称轴对折，图形的形状和大小都保持不变。那么对 仗是什么？无非是上联变成下联，但是，字词句的某些特性不变。王维诗云： “明月松间照，清泉石上流”。这里，明月对清泉，都是自然景物，没有变。形容 词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变。其余各词均如此。变化中的不变 性质，在文化中、文学中、数学中，都广泛存在着。数学中的“对偶理论”，拓扑 学的变与不变，都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地 方。徐利治教授早就指出：“孤帆远影碧空尽”，正是极限概念的意境。 (2)欧氏几何和中国古代的时空观初唐诗人陈子昂有句云：“前不见古 -31-