数学文化论十九讲 们可以这样考虑问题，多边形是由有限条直线段组成的，把有限化为无限，多 边形就变成了一条环形的封闭曲线。 (6)量变与质变数学是研究事物关系的模型以及对事物运动状态进行 描述的科学，其中一个非常重要的本质性问题就是量变与质变的问题。比如， 若平面与一个圆锥相截，其截口的几何图形的性质就会随平面与圆锥体截面 的交角不同而变化，若交角是直角，则截面是圆：若交角稍变一点（大于90°或 小于90°是一个道理)，则截面是椭圆：若再变下去，当变到一个关键点时，椭 圆就变成抛物线了。再比如对数曲线，它的每一个循环，都呈一种攀升的螺旋 状式周期变化，我们可以看作是否定之否定的结果。 (7)必然性和偶然性准确地给出一个大家都能接受的关于偶然与必然 的哲学定义，是十分困难的。数学中的概率论，为我们科学认识必然与偶然提 供了最佳工具。英国学者耶芳斯说，“概率论是生活真正的领路人，如果没有 对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为。”法国著名数学家和天 文学家拉普拉斯称，虽然它（概率论）是从某一低级的赌博开始的，但它却成 为人类知识中最重要的领域。概率论的目的就是从偶然中探求必然的规律， 它是机遇的模型，这种模型面对的是自然界中的必然现象和随机现象（我们 称之为偶然现象)。 三、数学：社会的文化 我们将数学作为一种文化来思考，还有一个原因，就是它具有明显的社 会化功能： 1.符号功能 符号是数学抽象物的表现形式。M.克莱因称：“数学的另一个重要特征 是它的符号语言。如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号 表示数量关系和空间形式。凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可 以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长 不堪。这种简洁性有助于思维的效率。”美国数学史家DJ斯特洛伊克曾经指 出：“一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理，而合适的符号，它 就带着自己的生命出现，并且它又创造出新生命来。”数学符号的这种奇特性 质受到人们的普遍注意，许多数学家都有一种感觉，从符号中得到的东西比 输入的更多，它们好像比它们的创造者更聪明。有些符号似乎具备一些神奇 -12-
第一讲解读数学文化 的力量，能在其内部传播变革和创造性发展的种子。有些时候，可能仅仅是 由于选择到适当的符号，就会导致十分重要的数学成果。 2.模型功能 甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的问题。 一个数学模型即使导出了与事实不符合的结果，它也还可能是有价值的，因 为一个模型的失败可以帮助我们去寻找更好的模型。数学模型的最优之处， 就是它扬弃了具体事物中的一切与研究目标无本质联系的各种具体的物质 属性，是在一种纯粹状态下的数量及其关系的结构，因此更具有普适性。数 学学科以外的诸多自然科学和人文社会科学，只有成功地建立起数学模型， 才算得上趋于成熟和完善。国际数学教育委员会将数学教育的研究课题分 为15个专题，其中第7个方面的问题是“问题解决、模型化和应用”，他们把 解题和构造模型放在一起，称之为当今数学教育发展的三大趋势之一。 3.审美功能 数学文化的另一个重要功能是在美学方面，这种功能是鼓舞人们把对 数学的追求化为一种对审美的追求。人们期待它的构造在“美学上”的“雅致 性”和在叙述问题时的自如性，如果你能自如地叙述问题，把握它和企图解 决它，那么某些使人惊奇的探索过程中遇到的曲折会变得容易得多。如果推 导是冗长的或者复杂的，应该存在某些简单的一般原则，可以用来“说明”复 杂性和曲折性，这些标准显然就是对任何创造性艺术所提的标准。 数学思想大师罗素就曾这样毫不掩饰地说过：“数学，如果正确地看它， 则具有…至高无上的美一正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美 不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装 饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示 的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得 高于人的意识一这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学 里得到。”王蒙甚至说：“最高的诗是数学。” 4.数学是推动社会发展的先进生产力 著名数学家A.开普勒指出：“由于最近20年的进步，社会科学的许多重 要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段·。”在人类社会的发展 -13-
数学文化论十九讲 史上，有三次重大的社会进步是与数学密切相关的。第一次是牛顿时代的科 学革命，牛顿用几个最著名的数学公式 F=G.mim2 R2 (万有引力定律) F=ma(牛顿运动定律) 和微积分去描绘宇宙图景。牛顿使科学在杜会上取得重要地位，成为18世 纪思想启蒙运动的先导者之一。第二次是达尔文进化论影响了他的表弟哥 尔顿发展了相关及回归的概念，孟德尔遗传规律的发现和发展引发了数理 统计的建立和发展。今天，统计数学已成为发展的重要工具。第三次，也是最 近的，就是计算机的产生与发展导致了人类社会的重大变化，人类已由过去 的工业社会进人到信息化时代，知识经济时代。 数学研究现实世界的数量关系和空间形式。数学中的根本矛盾，在于数 学从纯粹形态上研究现实形式和关系。数学发展过程中不断出现矛盾又不 断解决矛盾。数学本身由于研究变数而进人辩证法的领域。数学在推动可持 续发展、实现科技进步最优化、经济发展等方面都有不可替代的作用。美国 国家研究委员会所属的数学委员会在一份报告中，曾就数学科学对于经济 竞争力的生死攸关性给出了六点说明，以说明数学在技术转移中的作用。拿 破仑曾经说：“一个国家的富强必须以数学的发达为标志。” 四、数学：美学的文化 数学文化的美学观是构成数学文化的重要内容。古代哲学家、数学家普 洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”开普勒也说，“数学是这个世界之 美的原型。”对数学文化的审美追求已成为数学得以发展的重要原动力。以 致法国诗人诺瓦利也曾高唱：“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术。”“既 是科学家同时又是艺术家的数学工作者，是大地上唯一的幸运儿。”古往今 来，许多数学家、哲学家都把“美”作为决定选题、选题标准和成功标准的一 种评价尺度，甚至把“美的考虑”放在高于一切的位置。著名数学家冯·诺依 曼就曾写道：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都 是美学的。”庞加莱则更明确地说：“数学家们非常重视他们的方法和理论是 否优美，这并非华而不实的作风。那么，到底是什么使我们感到一个解答、一 个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡。一句 话，那就是井然有序、统一协调，从而使我们对整体以及细节都能有清楚的 -14-
第一讲解读数学文化 认识和理解，这正是产生伟大成果的地方。” 数学家L斯思也曾指出：“在数学定理的评价中，审美的标准既重于逻 辑的标准，也重于实用的标准；美观与高雅对数学概念的评价来说，比是否 严格正确、是否可能应用都重要得多。”显然，这种“美学至上”的观点是片面 的。因为，数学的“审美标准”与“实践的标准”事实上是互相联系的，美学的 考虑之所以有意义，主要是因为它能预示相应的研究是否会“富有成果”。 审美追求作为数学发展的重要原动力，其中一个主要内容就是创造性 的需要，它起着一种激活作用。冯·诺依曼说：“数学家成功与否和他的努力 是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的、不受（或近乎不受）经验的影 响”。因此，冯·诺依曼断言：“数学思想一旦…被构思出来，这门科学就开 始经历它本身所特有的生命，把它比作创造性的、受几乎一切审美因素支配 的学科，就比把它比作别的事物特别是经验科学要更好一些。”可见，审美作 为一种支配因素，对数学科学的发展是多么重要！ 数学美的主要内容一般反映在对称美、简洁美、奇异美等方面。 对称性是数学美的重要特征。由于现实世界中处处有对称，既有轴对 称、中心对称和镜对称等的空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对称，还 有与时空坐标无关的更为复杂的对称。作为研究现实世界的空间形式与数 量关系的数学，自然会渗透着圆满和自然的对称美。例如，函数与反函数的 图象关于直线y=x对称：在几何中，在对称变换下仍然变为它自己的图形， 都给人以一种对称性的美感。 数学的简洁性指数学表达形式和数学理论体系的结构简洁。莱布尼茨 用“x)s”这一简捷的符号表达了积分概念的丰富的思想，刻画出“人类精 神的最高胜利”。因此，有些数学家把微积分比作“美女”。 谈到数学的奇异美，不能不讲欧拉的em+1=0。在这里，我们不能把它简 单地看成只是一个公式而已。事实上，只要我们稍微仔细分析，就会发现它 的神奇和不可思议。 1是实数中最基本的单位，有着丰富的内涵，它是整数的单位，数字的始 祖，是真分数（纯小数）和整数的分水岭。远古人类抽象出1这个概念的时候， 便是数学的真正萌芽。1也可以代表事物的整体，或者各部分的总体，甚至整 个宇宙，这就是所谓“浑一”。 i是复数的基本单位，它来源于解二次方程x2+1=0,长期被人们认为不 -15-
数学文化论十九讲 可捉摸。 T是圆周率。一位德国数学家指出：“在数学史上，许多国家的数学家都 找过更精密的圆周率。因此，圆周率的精确度可以作为衡量一个国家数学发 展水平的标志。” 奇异美是建立在求异思维的基础上的。比如，有理数稍一扩展，新数就 被称为“无理”的：实数再一扩展，新数就被叫做“虚”的。实数之后出现“超实 数”，复数之后出现“超复数”，有穷数之后又有“超穷数”··· 和谐是数学美的最高境界。实际上，和谐就是一个度，是一种中庸的最 佳状态。比例是关于模数与整体在测量上的协调。比例给人一种和谐，莫过 于黄金分割法。数学所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大；通常所 说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了仅把3维空间作为一部分的4 维空间、5维空间、····、n维空间。数学是一座远远地超越了我们想象的 华丽官殿，站在这个无比庄严、宏伟的宫殿前的数学家们，以崇敬赞叹的目 光远跳着它的壮观、它的美妙，那些能够感受到这种数学美、宇宙美的人，是 可以被称之为爱因斯坦所说的“有宇宙宗教性的人”。 从文化的角度看数学，是一个老问题，也是一个新问题。当我们一旦踏 进数学文化的门槛，就会惊奇地发现这是一个美仑美奂的奇异世界，随着人 们对数学文化的深入研究，一定会呈现给人类一个更加精彩的世界。 参考文献 [1][英]爱德华·泰勒著连树声译《原始文化》广西师范大学出版社 2005年1月版 [2]陈建宪《文化学教程》华中师范大学出版社2004年12月版 [3]方延明《数学文化》清华大学出版社2007年8月版 -16-