第一讲解读数学文化 较真实地反映了现实世界的诸多关系和内容。比如，欧氏几何的定义、公设、 定理，2000多年来一直被人们奉为经典，就是因为它解决了人们生活实践中 的问题。 美国数学家S.麦克莱恩把人类活动直接导致的部分数学分支列了一 个表。 计数：算术和数论； 度量：实数，演算，分析： 形状：几何学，拓扑学； 造型（如在建筑学中）：对称性，群论； 估计：概率，测度论，统计学； 运动：力学，微积分学，动力学： 证明：逻辑； 分组：集合论，组合论。 人类的这些不同活动不是完全独立的。它们以复杂的方式相互作用、活 动。这些活动给人类提供了对象和运算，同时也导致了后来嵌入形式公理系 统的各种概念。数学概念的形成，是人们对客观世界认识科学性的具体体 现。数学概念的抽象、归纳，实际上为建立模型奠定了基础。数起源于人类各 式各样的实践活动，又从这些活动中抽象出许多一般的但又不是任意的、有 确切内容和明确含意的概念，然后将这些概念应用到现实世界中去，把问题 划归为一种形式结构，这就是我们讲的模型结构。模型是数学思想活的灵 魂，千姿百态的模型，反映了一个精彩纷呈的世界。 事实上，相对于数学模型，有时数学对象具有一种双重意义。单就其所 表现的要领以及形式结构而言，数学模型是对现实世界的对象物化了的东 西，它已经不是原来的对象，不是一个真实的存在，而是一个抽象过后的产 物。然而，就它蕴含的内容来看，数学概念、形式结构，又的确是客观世界的 真实反映。不然，为什么物体运动的牛顿力学的形式计算被证实是符合实际 运动的？为什么微积分对物理学和对经济学的局部极大值问题都适用？ 所以，从现实世界中经过逻辑的、非逻辑的，化归抽象出概念、定义，然 后又用这些定义、概念去梳理现实世界中的各种建构模型，去精心计算，以 便给出确切的数、量、形关系。归纳、抽象、演绎、构模、计算，这就是数学的本 质与魅力。 -7- 1
数学文化论十九讲 3.数学文化的外延性特点 数学文化外延非常宽泛，它涉及多种学科。马克思早就说过：“一种科学 只有成功地运用数学时才算真正达到完善的程度。”近年来，特别是数学文 化在人文、社会、科技进步等方面的成功渗透，更充分地证明了马克思这一 论断的正确性。数学与教育、数学与文化、数学与史学、数学与哲学、数学与 社会学、数学与高科技等交叉的方面，都派生出一些新的学科生长点。以数 学与经济学的结合为例，可以说数学与经济学密不可分，以至于在今天不懂 数学就无法研究经济学。在宏观经济活动中如何及时刹住经济过于繁荣，又 不至于滑入灾难性的经济衰退的危险中，从最优控制理论可以得到方法上 的帮助。在微观经济中，数学的应用也极为广泛。比如，运用统计实验设计可 以提高产品的合格率等等。当今世界，运用数学建立经济模型，寻求经济管 理中的最佳方案，运用数学方法组织、调度、控制生产过程，从数据处理中获 取经济信息等，使得代数学、分析学、概率论和统计数学等大量数学的思想 方法进人经济学，并反过来促进了数学学科的发展。今天，一位不懂数学的 经济学家是决不会成为一位杰出的经济学家的。1969一一2008年间的62位 诺贝尔经济学奖的获得者中，除了个别几个获奖者如1974年获奖的哈耶克 外，几乎所有的获奖成果都用到了数学工具，有一半以上获奖者都是有深厚 数学功底的经济学家，还有少数获奖者本身就是著名的数学家，其中前苏联 数学家坎托罗维奇因对物资最优调拨理论的贡献而获1975年诺贝尔经济 学奖，被公认为现代经济数学理论的奠基人。其实，除上面我们列举的许多 方面之外，数学还广泛渗透到其他领域。有位数学家断言：只要文明不断进 步，在下一个两千年里，人类思想中压倒一切的新鲜事物，是数学理智的统 治。 二、数学：思维的文化 自从有哲学以来，数学就成为哲学问题的一个重要来源，为哲学的思考 与发展提供了丰富的实践环境。古希腊时代的许多大哲学家，多数是大数学 家。在他们眼里，数学与哲学是同宗同源的。从哲学的角度看数学文化，根本 上来讲就是把数学作为一门思维科学，特别是其中的哲学思维内容以及比 较具体一点的对思维更是如此。 -8-
第一讲 解读数学文化 1.哲学思维内容 (1)抽象思维抽象思维是数学文化哲学思维中最根本、最基础的内容 之一，是灵魂。所谓抽象，就是把同类事件中最关键、最根本的本质性的东西 拎出来，加以归纳，使其具有更大的推广性和普适性。例如，著名的哥尼斯堡 七桥问题，欧拉就是通过抽象，把两岸及两岛想象为四个点（因为点的大小是 无关紧要的，事实上几何的点也无大小)，把七座桥想象为七条线（线的形状 如何，线的宽窄都是无关紧要的，事实上几何的线也无宽窄)。这样，就成了联 结四个点的七条线。通过对哥尼斯堡七桥问题的解决，发现真正的问题是 “奇点”、“偶点”的问题，这就把最本质的东西一组合拓扑性质凸显出来 了。今后凡是类似的问题，不管是七桥还是八桥、九桥都可以解决了。 (2)逻辑思维数学不能完全归结为逻辑思维，但逻辑作为数学基础却 始终占据着数学哲学最主要的位置。逻辑思维是整个数学科学各分支之间 联结的纽带。 首先，逻辑思维可以用来检验、证明数学真理。这种检验和证明，主要是 借助演绎与归纳的方法，一是通过演绎把数学真理从一般推到个别，二是通 过归纳把个别推广到一般。 其次，逻辑思维使数学文化系统化、体系化、科学化。逻辑对数学来讲， 有时是起一条线的串联作用，它把许多零碎的东西申起来。通过去伪存真、 去粗取精、化归统一，最终形成一个抽象的、简洁的、形象的、生动优美的结 构系统。罗素说过：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年 与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑亦然。” 再次，逻辑思维既可以经过归纳、演绎、推理，获得新的结果，也可以重 新审视一下已有逻辑，换一种思路，根据需要，发展或确立新的数学对象和 领域。 (3)形象思维数学中的形象思维能够激励人们的想象力和创造力，它 常常导致重要的数学发现。数学中的形象思维具有一般形象思维的性质与 内容，但它又与一般的形象思维（专指文学艺术类）不同，它的对象是数学的 内容。徐利治教授把数学的形象思维分为四个层次：第一个层次为几何思 维：第二个层次是类几何思维：第三个层次是数学思维：第四个层次是数学 观念的直觉，它类似第三个层次，但这里更强调对数学观念、性质、相互联系 -9-
数学文化论十九讲 以及重新组合过程的形象化感觉，由这种形象化感觉而反映出来的直觉，是 无法用逻辑思维解释清楚的，但它确实又存在着。 数学文化的形象思维主要借助数学想象，这种想象包括视觉想象、听觉 想象和触觉想象。正如维纳所言：“就我而言，最有用的资质，乃是广泛持久 的记忆力，以及犹如万花筒一般的自由的想象力，这种想象力本身或多或少 会向我提供关于极其复杂的思维活动的一系列可能的观点。” (4)直觉思维直觉思维是数学哲学思维中的重要内容之一。首先，这 种直觉思维是非逻辑的，不是靠推理和演绎获得的。数学的猜测和想象，都 已经具有一定的非逻辑性。越是复杂的数学想象，可能越缺少逻辑。因为在 逻辑苍白无力的地方，恰恰是直觉在发挥着重要的作用。直觉思维是一种很 珍贵的精神状态，它的特点就是突然出现和非预期性。这种突然出现，有时 如“狂潮暴涨”般震撼人的心灵，把人引到一种兴高采烈、眉飞色舞的境界。 庞加莱曾这样说过：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何 障碍，但是它不能告诉我们哪一条道路能引导我们到达目的地。为此，必须 从远处瞭望目标，而数学教导我们瞭望的本领是直觉。没有直觉，数学家就 会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思想。直觉实际上是一 种机敏的洞察力，是一种无法言传身教但又是每个数学家所必不可少的素 养。”应当指出的是，数学家们的“神来”之笔及突然“顿悟”，恰恰是平时苦心 经营，功夫到家后的水到渠成，是经过千锤百炼之后熟能生巧所产生出的触 类旁通。诚然，由于数学直觉思维的非逻辑性、突发性等特点，很难说直觉有 什么规律可循。 2.对思维 数学文化的“对思维”，并非专指矛盾的双方，实际上是指一个问题的两 个方面，它集中反映在如下几个方面。 (1)宏观与微观对于认识世界来说，哲学着眼于大范围内的宏观考虑， 是望远镜，它可以无所限制地任思想自由飞翔。数学则不然，它属于精密科 学，来源于实践，不像哲学那么宏观，数学对象是一些具体问题，是一门实践 科学，它研究现实世界与人类经验多方面的各种形式模型的结构。数学细致 入微，容易进入到一些成熟学科中，并从中获得足够丰富的营养基，拓宽自 己的思路，发挥自己的作用。 10-
第一讲解读数学文化 (2)抽象与具体哲学所涉及的问题，能够不同程度地认识和理解，但 是，哲学有时往往会有这样的情况，有些问题，看起来似乎很具体，但实际上 很模糊，难以驾驭和把握，有一种看似容易实则难的感觉。数学与哲学不一 样，数学源于实践，但又研究抽象。数学的定义、定理、公设是源于实践的，但 又是高度抽象的。因此，要进入到数学的领地，不具备一定的思维水准是不 行的，外行是不可能理解数学的定义、公设和公理的。比如，“点”是什么？ “线”是什么？如果一个老师在黑板上用粉笔点一个“点”，再划一条“线”，那 “点”和“线”又是很具体的。这时的点、线都是可视的、具体的、容易理解的。 (3)证明与非证明黑格尔说：“证明是数学的灵魂。”数学是研究结构 的，通常情况下，如果它受什么条件制约的话，则必有什么性质：假如具备什 么条件的话，则必然有什么结果。例如，两个三角形三条边对应成比例，则这 两个三角形相似。对应成比例是条件，相似是结论。数学从不先肯定“是什 么”，它总是首先注重前提，然后才是结论。而哲学无需证明，也无需“假设”。 哲学的命题从来都是不含糊的、肯定的、唯一的。比如“世界是物质的。”“一 切事物都包含着矛盾。”“物极必反”…你能说“不”吗？这些命题不要先决 条件。 (4)概念的约束与非约束数学依赖于客观世界，经过抽象形成自己的 概念，概念一旦形成，就有它自己的固有性质了。因此，数学概念一旦形成， 数学本身也就把自己制约在概念中了。比如，G康托尔和戴德金在开始建立 实数理论时，本打算证明实数与自然数的对应关系，但没有想到结论是实数 比自然数多，他更没有想到一小截线段上的点竟然可以和全部空间的点一 一对应。集合论的每一个新发现都使G康托尔感到吃惊。其他一些数学概念 的形成，都具有同样的道理。哲学则不然，它不受概念的限制与约束。 (5)有限与无限无限王国，把数学一步一步地引向深入。你看： 为解决无限的问题，由欧氏几何产生了非欧几何； 为解决无限的问题，从常量到变量，产生了微积分： 为解决无限的问题，集合论的产生完善了数学大厦的基础； * 正因为如此，希尔伯特说：“从来就没有任何问题能像无限那样，深深触 动着人们的情感：没有任何观念能像无限那样，曾如此卓有成效地激励着人 们的理智：也没有任何概念能像无限那样，是如此迫切地需要予以澄清”。我 -11-