数学文化论十九讲 第一讲 解读数学文化 文化是一种社会现象，也是一种历史现象，是人们长期创造形成的产 物，是社会历史的积淀。确切地说，文化是指一个国家或民族的历史、地理、 风土人情、传统习俗、生活方式、文学艺术、行为规范、思维方式、价值观念 等。文化有广义与狭义之分。广义的“文化”，着眼于人类与一般动物、人类社 会与自然界的本质区别，着眼于人类独特的生存方式，其涵盖面非常广泛， 所以又称作“大文化”。梁启超在《什么是文化》中称，“文化者，人类心能所开 释出来之有价值的共业也”，这“共业”包含众多领域，诸如认识的（语言、哲 学、科学、教育)、规范的（道德、法律、信仰）、艺术的（文学、美术、音乐、舞蹈、 戏剧)、器用的（生产工具、日用器皿以及制造它们的技术）、社会的（制度、组 织、风俗习惯)等等。广义的“文化”从人之所以为人的意义上立论，认为正 是文化的出现“将动物的人变为创造的人、组织的人、思想的人、说话的人 以及计划的人”，因而将人类社会一历史生活的全部内容统统摄人“文 化"的定义域。一般来说，文化哲学、文化人类学等学科的研究工作者多持 此说。狭义的“文化”排除人类社会一一历史生活中关于物质创造活动及其 结果的部分，专注于精神创造活动及其结果，所以又被称作“小文化”。1871 年英国人类学家泰勒在《原始文化》一书中提出关于文化的经典定义：“所 谓文化或文明，就其广泛的民族学意义来说，乃是知识、信仰、艺术、道德、 法律、习俗和任何人作为一名社会成员而获得的能力和习惯在内的复杂整 体。”一这事实上是一个狭义文化的定义。在汉语中，“文化”的本义是 “以文教化”，亦属于“狭义文化”范畴。上世纪40年代初，毛泽东在论及新 民主主义文化时说：“一定的文化是一定社会的政治和经济在观念形态上 的反映。”这里的“文化”，也属狭义文化。《现代汉语词典》关于“文化”的释 义，即“人类在社会历史发展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和， 特指精神财富”当属狭义文化。一般而言，凡涉及精神创造领域的文化现 象，均属狭义文化。 -2-
第一讲解读数学文化 综上所述，文化是通过人的活动对自然状态的变革而创造的物资财富 与精神财富的总和，即一切非自然的由人类所创造的事物或对象都应看成 文化物。数学符合文化的定义。 首先，文化涵盖所有科学，而数学具备这种广泛的涵盖性，这既表现在 它的原创性方面，也表现在它的应用性方面。数学影响其他的东西，感化和 支配别的东西，它具备了“大文化"概念所具有的“真”（真理化）、“善”（道德 化)、“美”（艺术化），体现了一种精神的显现。 其次，数学还表现了一种前所未有的探索精神、创新精神。她的理性思 维的功能发挥得淋漓尽致，它提供给人们的不仅仅是思维模式，还是一种有 力的解决问题的武器和工具。她既反映了思维上的合理性和价值趋向，又拓 展了人们的思想解放之路，因为数学常常是自己否定自己的。 再次，数学的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。M克 莱因曾说：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其 重要的因素。” 最后，历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往就是数学家， 最著名的如柏拉图和达芬奇。晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依 曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。 因此，数学是一种文化。界定数学文化的涵义，研究数学的文化品位，体 察社会文化和数学文化之间的互动，探索数学作为一种重要的社会文化在 推动社会进步、提高人类素质等方面的作用，对于推动数学教育、人类文化 和文明进步都有着重要意义。 下面我们从科学、思维、社会、美学等几个方面解读数学文化，谈谈数学 文化的涵义。 一、数学：科学的文化 没有任何一种科学能像数学这样泽被后人。爱因斯坦在谈到数学时说： “数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以 某种程度的可靠性。没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”M克莱 因说：“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有 着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学 家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说：满足了人类探索 -3-
数学文化论十九讲 宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想：有时甚至可能以难以察觉到的方式但 无可置疑地影响着现代历史的进程。”“实际上，在现代经验科学中，能否接 受数学方法已越来越成为该学科成功与否的主要判别标准。”早在1959年5 月，著名数学家华罗庚在《人民日报》上发表了《大哉，数学之为用》的文章， 精彩地论述“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之 谜，日用之繁等方面，无处不有数学的重要贡献。”中国科学院数学物理学部 由王梓坤教授起草的《今日数学及其应用》报告中，特别强调了数学的贡献。 他说：“数学的贡献在于对整个科学技术（尤其是高新技术）水平的推进与提 高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维 与文化素质的哺育，这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科所不能全 面比拟的。” 1.数学是什么？ 数学是什么？迄今为止，众说纷纭，莫衷一是。 古希腊毕达哥拉斯学派说：数学统治宇宙。 古希腊哲学家、数学家柏拉图说：上帝总在使世界几何化。 意大利伟大的物理学家和天文学家伽利略说：数学是上帝用来书写宇 宙的文字。 英国哲学家培根说：数学是开启科学大门的钥匙，忽视数学必将伤害所 有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其 他事物的。更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将 导致无法寻求任何补救的措施。 德国诗人、思想家歌德说：数学和辩证法一样，都是人类最高级理性的 体现。 德国哲学家黑格尔说：数学是上帝描述自然的符号。 美国数学家本杰明说：数学不是规律的发现者，因为它不是归纳。数学 也不是理论的缔造者，因为它不是假说。但数学却是规律和理论的裁判和主 宰者，因为规律和假说都要向数学表明自己的主张，然后等待数学的裁判。 如果没有数学上的认可，则规律不能起作用，理论也不能解释。 美国数学家怀尔德说：数学是一种文化体系。 英国数学家、物理学家巴罗说：数学一科学不可动摇的基石，促进人 --
第一讲解读数学文化 类事业进步的丰富源泉。 美国学者柯尔说：数学家对数学的了解是，数学可以表达、运算及发现 事实。数学是一种能澄清混淆的思考方式，它是一种语言，能让我们把世界 上混杂的局面翻译成可以去管理的方式。 美籍匈牙利裔数学家PD.拉克斯说：数学当作一门艺术来看时最近似 于绘画，二者在两种目标间维持一种张力，在绘画中，既要表达可见世界的 形状与色彩，又要在一块二维的画布上塑造出赏心悦目的图案：在数学中， 既要研究自然的规律，又要编织出优美的演绎模式。 英国哲学家、数学家、逻辑学家罗素说：数学是符号加逻辑。他还说：数 学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。 法国数学家E波莱尔说：数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我 们说的是否对的唯一的一门科学。他和罗素各执一词，针锋相对。 著名数学家华罗庚说：千古数学一大猜！ 概括起来，主要有以下几种说法： (1)万物皆数说“万物皆数”的始作者是毕达哥拉斯。他说：“数学统治 着宇宙。”这一说法在长时间内得到不少人的赞同。苏格拉底甚至强调，学习 数学是“为了灵魂本身去学”，柏拉图称“上帝乃几何学家”，他在自己学园门 上写着：“不懂得几何学的不得入内。” (2)哲学说自从古希腊人搞哲学开始，数学就成为哲学问题的重要来 源。古希腊的大哲学家几乎都是大数学家，这就难怪为什么他们比较容易从 哲学上来定义数学。亚里士多德说：“新的思想家虽说是为了其他事物而研 究数学，但他们却把数学和哲学看作是相同的。”对数学给予哲学的定义，首 推欧几里得，他在《几何原本》中对数学的定义几乎都是从哲学方面提出的。 比如： 点是没有部分的那种东西： 线是没有宽度的长度； 直线是同其中各点看齐的线； 面是只有长度和宽度的那种东西。 牛顿在其《自然哲学之数学原理》第一版序言中曾说，他是把这本书 -5-
数学文化论十九讲 “作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出 来。”罗素则更直接，他说：“为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上 学，且要成为一个好数学家。”他把数学的素养作为创造健康哲学的基本 条件。 (3)符号说数学被人们普遍公认为一种高级语言，是符号的世界。伽 利略的一段话流传颇广：“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写 在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书 是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他图形，不借助于它们就一个字 也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。” (4)科学说此说认为数学是一门科学。“数学，科学的皇后：算术，数学 的皇后”(GF.高斯)。“数学是科学的大门和钥匙”（培根）。“数学是我们时代 有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域：那种不用数学为自己服 务的人将会发现数学被别人用来反对他自已”（赫尔巴特）。 (5)模型说把数学定义为模型古已有之。L.A.怀特认为：“数学的本质 就是研究相关模式的最显著的实例。”约翰逊·格伦说：“数学为逻辑提供了 一个理想的模型，它的表达是清晰的和准确的，它的结论是确定的，它有着 新颖和多种多样的领域，它具有增进力量的抽象性，它具有预言事件的能 力，它能间接地度量数量，它有着无限的创造机会…。”雷尼说：“甚至一个 粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的情况。” 除以上这些说法之外，还有很多。比如创新说、工具说、逻辑说、直觉说、 集合说、艺术说等等，但不管哪种说法，都很难用一句话把数学说全，这可能 就是数学异于其他科学而作为文化的最主要的特点。数学是属于世界的，它 几乎无所不有。 2.数学文化的学科体系 数学文化的体系框架是什么？有学者提出现实世界、概念定义和模型结 构的数学文化的“三元结构”说。数学起源于现实世界，特别是现实世界中发 生在人与自然之间的诸多问题，是数学科学的基础。人们通过对现实世界的 大量观察以及对这些问题间相互关系的了解，包括借助经验的发展，经过类 比、归纳，当然其中有逻辑的、也有非逻辑的，进而抽象出概念（包括一些定 义或公理)。概念定义是理性化了的东西。定义、公设、定理，从根本上讲，比 -6- 一