绵阳师范学院：《高等数学》课程PPT教学课件（高等代数）第8章 二次型

那么 PAP=QE…E2E1AE1E2…EQ a10 0 0 0 Q 1A1Q1 0 这里c1=a1 16首页上页返回下页结束 铃

16 首页 上页 返回 下页 结束 铃 那么               =                =               =   =     n s s c c c Q A Q a Q A a Q P A P Q E E E A E E E Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2        这里 c1 = a11

(b)如果an=0,i=1,2,n.由于A≠O,所以 定有某一个元素a;≠0,i≠j.把A的第j列加 到第,再把第j行加到第i行,这相当于初等矩阵 m()右乘A.再用T(1)=Tm()左乘A.而经过这 样的变换后所得到的矩阵第诉第j列的元素 是2an≠0.于是由情形(b)就归结到情形(a) 注意在定理812的主对角形矩阵PAP中,主 对角线上的元素,c2 的一部分甚至全部可以 是零。显然,不为零的的个数等于A的秩,如 果秩A等于r>0,那么由定理的证明过程可以知 c1,c2,…,Cr≠0,而cr+1=cr+2=…=C 首页 上页 结束 铃

17 首页 上页 返回 下页 结束 铃 (b) 如果 . 由于A≠O，所以 一定有某一个元素 . 把A的第 j 列加 到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 右乘A . 再用 左乘A. 而经过这 样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素 是 . 于是由情形（b）就归结到情形（a）. aii = 0, i = 1,2,,n a i j ij  0,  (1) Tji (1) = (1) Tij Tji 2aij  0 注意 在定理 8.1.2的主对角形矩阵 中，主 对角线上的元素 的一部分甚至全部可以 是零。显然，不为零的 的个数等于A的秩，如 果秩A等于r > 0，那么由定理的证明过程可以知 PAP n c ,c , ,c 1 2  i c c1 ,c2 ,  ,cr  0, 而cr+1 = cr+2 == cn = 0

给了数域F上一个n阶对称矩阵A,由定理 912的证明过程还可以看出,我们可以具体求出 个可逆矩阵P,使PAP有对角形式,只要在对 A施行一对列初等变换和行初等变换的同时,仅对 n阶单位矩阵/施行同样的列初等变换,那么当A 化为对角形式时,/就化为P 例1设 0003 03-60 A 0-612-4 30-40 18首页上页返回下页结束 铃

18 首页 上页 返回 下页 结束 铃 给了数域 F 上一个n 阶对称矩阵A， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出 一个可逆矩阵P，使 有对角形式，只要在对 A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对 n阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当A 化为对角形式时，I 就化为P。 PAP 例1 设               − − − − = 3 0 4 0 0 6 12 4 0 3 6 0 0 0 0 3 A

我们按定理812所给出的方法对A施行行和列 初等变换,将A变成PAP,使得PP是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵l4,施行同样的初等 变换而得出P 交换A第一列和第二列,第一行和第二行,同 时交换/4的第一列和第二列。这时A和I4分别化 为 30-60 0003 1000 6012-4 00 0 03-40 0001 19首页上页返回下页结束铃

19 首页 上页 返回 下页 结束 铃 我们按定理8.1.2所给出的方法对A施行行和列 初等变换，将A变成 ，使得 是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵 ，施行同样的初等 变换而得出P。 PAP PAP 4 I 交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同 时交换 的第一列和第二列。这时A和 分别化 为： 4 I 4 I               =               − − − − = 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 , 0 3 4 0 6 0 12 4 0 0 0 3 3 0 6 0 A1 P1

把A1的第一列乘以2加到第三列,第一行乘以 2加到第三行,同时把P的第一列乘以2加到第三 列。分别得到: 3000 0100 0003 1020 000-4 0010 03-40 0001 把A2的第四列加到第二列,第四行加到第二 行,同时把P和第四列加到第二列,得 20首页上页返回下页结束 铃

20 首页 上页 返回 下页 结束 铃 把 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以 2加到第三行，同时把 的第一列乘以2加到第三 列。分别得到： A1 P1               =               − − = 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0 0 , 0 3 4 0 0 0 0 4 0 0 0 3 3 0 0 0 A2 P2 把 的第四列加到第二列，第四行加到第二 行，同时把 和第四列加到第二列，得 A2 P2