定理81.3数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同 等价的二次型具有相同的秩。 定理814令A=(a)是数城F上的一个m阶对称矩 阵。总存在P上一个n阶非奇异矩阵尸,使得 0 PrAP 即F上的一个m阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 同 11首页上页返回下页结束 铃
11 首页 上页 返回 下页 结束 铃 定理8.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 定理8.1.4 是数域F上的一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得 ( ) ij 令A = a = n c c c P AP 0 0 2 1 即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 同
证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下52里所定义的三种初等矩阵 D(k)和T(k)容易看出, P=P;D(k)=D,(k);T(k)=7() 现在对矩阵A的阶m作数学归纳法,n=1时定 理显然成立。设n>1,并且假设对于n-1阶对称 矩阵来说,定理成立。设A=(an)是一个m阶矩阵 如果A=O,这时A本身就是对角形式。设A≠O, 我们分两种情形来考虑 12首页上页返回下页结束 铃
12 首页 上页 返回 下页 结束 铃 证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j , Di (k)和Tij(k) 容易看出， P P ; D (k) D (k); T (k) T (k) i j i j i i ij = ij = = ( ) ij 设A = a A O ( ) 设A = aij A O 现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定 理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对称 矩阵来说，定理成立。 是一个n阶矩阵. 如果A = O，这时A本身就是对角形式。设 , 我们分两种情形来考虑
(a)设A的主对角线上元素不全为零,例 如,an≠0如果i≠1,那么交换A的第1列与第列, 再交换第1行与第行,就可以把换到左上角。这 样就相当于初等矩阵 f1右再用 P=P;左乘A.于是P;AR;的左上角的元素 不等于零.因此,我们不妨设1≠0,用-乘 A的第1列加到第j列,再用-乘第1行加到第 11 j行,就可以把第一行第j列和第j行第1列位置的 元素变成零 13首页上页返回下页结束 铃
13 首页 上页 返回 下页 结束 铃 (a) 设A的主对角线上元素不全为零，例 如， .如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列， 再交换第1行与第i行，就可以把 换到左上角。这 样就相当于初等矩阵 , 再用 . 于是 的左上角的元素 aii 0 aii P1i 右乘 A P P A 1 i = 1i 左乘 i AP i P1 1 a11 0 11 1 a a j 不等于零. 因此，我们不妨设 ，用 − 乘 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的 元素变成零。 A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第 11 1 a a j −
这相当于用T;()右乘A,用 11 左乘A。这样,总可以选取初等矩阵E1,E2,…,E 使得 0 0 E…E2E1AE1E2…Es 这里A1是一个n-1阶的对称矩阵。 14首页上页返回 下页 结束 铃
14 首页 上页 返回 下页 结束 铃 这相当于用 ( ) 右乘A，用 11 1 1 a a T j j − ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 a a T a a T j j j j − = − 左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 , 使得 E E Es , , , 1 2 = 0 0 0 0 1 1 1 2 1 1 2 A a Es E E AE E Es 这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵
由归纳法假设,存在n-1阶可逆矩阵Q1使得 2421 0 取 10 0 Q P=E1E2…EQ 15首页上页返回下页结束 铃
15 首页 上页 返回 下页 结束 铃 由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q1 使得 = n c c c Q A Q 0 0 3 2 1 1 1 = 0 0 1 0 0 Q1 Q P = E1 E2 Es Q 取