+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 可题:如果判断好坏? 代数精度 1(0)=∑ax)为数值积分,()三(x为积分,则称数值 积分有阶代数精度是指:(x)=(x),=0,…,k,Ln(x)≠(x 对任意次数不高于k次的多项式(x), 数值积分没有误差
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) ( ) 0 i n i n i I f a f x = = 为数值积分， = b a I( f ) f (x)dx 为积分，则称数值 积分有k阶代数精度是指： ( ) ( ), 0, , ; ( ) ( ) +1 +1 = = k k n i i n I x I x i k I x I x 问题：如果判断好坏？ 代数精度 对任意次数不高于k次的多项式f(x)， 数值积分没有误差
+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值型 用插值函数的积分,作为数值积分 1(04(1))=(()x) 0 代数精度 (n+1 由 Lagrange插值的误差表达式,R2(x) (x),有 (n+1) n 0)-1()=R2(xk= 0.(x (n+1) 可以看出,至少n阶代数精度:f1(x)=0,f(x)=x6,k≤n
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 用插值函数的积分，作为数值积分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 i n i b a i i b a n i i b a n n I f L x dx l x f x dx l x dx f x = = = = = i a 代数精度 由Lagrange插值的误差表达式， ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1) x n f R x n n n + = + ，有 x dx n f I f I f R x dx b a n n b a n n + − = = + ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 可以看出，至少n 阶代数精度 f x f x x k n n k = = + ( ) 0, ( ) , ( 1) 插值型
+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 前面得到的系数是最好的吗? vandermonde 使用尽可能高的代数精度 行列式 已知(x)=(x)i=0…,m求系数{ 所以,如果m>n,则系数唯 x1 b n+1 n+1 n n xn八a n n n+1
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS + − − − = + + 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 0 1 n b a b a b a a a a x x x x x x n n n n n n n n Vandermonde 行列式 使用尽可能高的代数精度 I x I x i m i i n ( ) = ( ), = 0, , n i i a 已知 求系数 =0 所以，如果m>n，则系数唯一 前面得到的系数是最好的吗？
+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 若数值积分至少n阶代数精度,则系数唯 1(xhx,i=0,…,n 误差 (n+1 ()-1()=R,(xx (5(x) o,(x ydx n+
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 若数值积分至少n阶代数精度，则系数唯一 ( ) , 0, , b i i a a l x dx i n = = 误差 x dx n f x I f I f R x dx b a n n b a n n + − = = + ( ) ( 1)! ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( 1)
+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Newton- Cotes积分 若节点可以自由选取,则,一个自然的办法就是取等距节点 对区间做等距分割。 该数值积分称为 Newton- Cotes积分
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Newton-Cote’s 积分 若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。 对区间做等距分割。 该数值积分称为Newton-Cote’s积分