+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值型数值微分 插值是建立逼近函数的手段,用以研究原函数的性质。 因此,可以用插值函数的导数近似为原函数的导数 f(x)≈Ln(x) 误差 用 Taylor,展开分析
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。 因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数 ( ) ( ) ( ) ( ) f x L x k n k 误差 插值型数值微分 用Taylor展开分析
+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例:给定点列{x,f(x)2且x2一x=x-=h,求 f(x2),f"(x),f(x0) 解: X-X(x-x X-XoX-x. L2(x) f(x1) x-x0)(x-x1) x 2h h 2h2 +x-x2) L2(x) x-xx-x. x f(x)+ 0 x-x+x-x 2f(x1)+ f(x2 2h h 2h2
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 给定点列 2 0 ( , ( )) i i i= x f x 且 x2 − x1 = x1 − x0 = h ，求 '( ), '( ), '( ) 2 1 0 f x f x f x 解： ( ) 2 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( )( ) ( ) 2 2 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 2 f x h x x x x f x h x x x x f x h x x x x L x − − + − − − + − − = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ' ( ) 2 2 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 2 f x h x x x x f x h x x x x f x h x x x x L x − + − + − − + − + − + − = 例：
中图舁学技术大荸蟲学 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS f(x)≈L2(x)=n(-3f(x)+4f(x)f(x)+nf"() f(x)≈L2(x)=(-f(x)+f(x2)-f"() 2h h2 f(x2)≈L2(x2)=n(f(x)-4f(x)+3f(x2)+nf"(5) 2h Taylor展开分析,可以知道,它们都是O(h2)称为三点公式 fx)≈L"2(x)=2(f(x)-2f(x)+f(x2) 误差? f"(x)≈L"1(x2)=2(f(x)-2f(x)+f(x2) fx2)≈L2(x)=(f(x)-2f(x)+f(x2)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) 2 0 2 0 0 1 2 1 '( ) ' ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) '''( ) 2 3 h f x L x f x f x f x f h = − + − + ( ) 2 1 2 1 0 2 1 '( ) ' ( ) ( ) ( ) '''( ) 2 6 h f x L x f x f x f h = − + − ( ) 2 2 2 2 0 1 2 1 '( ) ' ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) '''( ) 2 3 h f x L x f x f x f x f h = − + + Taylor展开分析，可以知道，它们都是 ( ) 2 O h 称为三点公式 0 2 0 0 1 2 ( ) 2 1 f x L x f x f x f x ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) h = − + 1 1 2 0 1 2 ( ) 2 1 f x L x f x f x f x ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) h = − + 2 2 2 0 1 2 ( ) 2 1 f x L x f x f x f x ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) h = − + 误差？
+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值积分 关于积分,有 Newton- Leibniz公式 f(rx= F(6)-f(a 但是,在很多情况下,还是要数值积分: 、函数有离散数据组成 2、F(x)求不出 3、F(x)非常复杂 定义数值积分如下:是离散点上的函数值的线性组合 1n2(f)=∑af(x) i=0 称为积分系数,与fx)无关,与积分区间和积分点有关
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值积分 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 关于积分，有Newton-Leibniz 公式 但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数有离散数据组成 2、F(x)求不出 3、F(x)非常复杂 定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合 ( ) ( ) 0 i n i In f ai f x = = 称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关
+图钭学技术大荸数学系 University of Science and Technology of china DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例 10(O)=(b-a)f(a) b-a (f) at b 10()=(b-a)f(-)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) ( ) ( ) I 0 f = b − a f a 例： ) 2 ( ) ( ) ( ( ) 2 ( ) ( ) 0 0 a b I f b a f f a b a I f + = − − =