航空机载惯性导航系统间的加速度，它是运载体牵连加速度的一部分；wi×r代表地球自转引起的牵连点的向心加速度，它是运载体牵连速度的又一部分。将式（2-2）对时间求二阶导数：dRdR++dr + dwiadr+dddrdtdtde因为：drdr+w(wxr)WX()dtdt而地球相对惯性空间的角速度可以精确地看成是常矢量，即：daie=0dt由此得到运载体绝对加速度表达式：d'Rd'R.|+d'rdr+20起×+wix(oXr)ddddt式中各项的物理意义如下：d'R表示运载体相对惯性空间的加速度，即运载体的绝对加速度；d?d'r表示运载体相对地球的加速度，即运载体的相对加速度；dd'R.26表示地球公转引起的地心相对惯性空间的加速度，它是运载体牵连加速度的一部dt?分；×（i×r)代表地球自转引起的牵连点的向心加速度，它是运载体牵连速度的又一部分；dr20i表示运载体相对地球速度与地球自转角速度的相互影响而形成的附加加速dt度，即运载体的科氏加速度。第五节比力方程加速度计的工作原理是基于经典的牛顿力学定律，其力学模型如图2－17所示。敏感质量（质量设为m）借助弹簧（弹簧刚度设为k）被约束在仪表壳体内，并且通过阻尼器与仪表壳体相连。当沿加速度的敏感轴方向无加速度输人时，质量块相对仪表壳体处于零位（见图2-17）。当安装加速度计的运载体沿敏感轴方向以加速度相对惯性空间运动时，仪表壳体也随之作加速运动，但质量块由于保持原来的惯性，故它朝着与加速度相反方向相对壳体位移而压缩（或拉伸）弹簧（见图2-18）。当相对位移量达一定值时，弹簧受压（或受拉）变形所给出的弹簧力kx（x为位移量）使质量块以同一加速度α相对惯性空间运动
第2章惯性导航基础理论数感箱W敏感轴M敏感质量仪表壳体阻尼器弹簧图2-17加速度计原理图图2-18载体运动时的加速度计在此稳态情况，有如下关系：kxa=maTXA即稳态时质量块的相对位移量与运载体的加速度a成正比。然而，地球、月球、太阳和其他天体存在着引力场，加速度计的测量将受到引力的影响。为了便于说明，暂且不考虑运载体的加速度。如图2-18所示，设加速度的质量块受到沿敏感轴方向的引力mG（G为引力加速度）的作用，则质量块将沿着引力作用方向相对壳体位移而拉伸（或压缩）弹簧。当相对位移量达一定值时弹簧受拉（或27受压）所给出的弹簧力kxc（c为位移量）恰与引力mG相平衡。在此稳态情况，有如下关系成立：kxc=mG或：mGtGk即稳态时质量块的相对位移量x与引力加速度G成正比。对照两图可以看出，沿同一轴向的a和所引起的质量块位移方向正好相反。综合考虑运载休加速度和引力加速度的情况下，在稳态时质量块的相对位移量为：(a-G)即稳态时质量块的相对位移量x与（α-G）成正比，阻尼器则用阻尼质量块到达稳定位置的振荡。借助位移传感器可将该位移量变换成电信号，所以加速度计的输出与（α-G)成正比。例如，在地球表面附近，把加速度计的敏感轴安装得与运载体（如火箭）的纵轴平行，当运载体以5g（g为重力加速度）的加速度垂直向上运动，即以a=5g沿敏感轴正向运动时，因沿敏感轴负向有：点(5g+g)=6元0当运载体垂直自由降落，即以a=g沿敏感轴正向运动时，因沿敏感轴正向有引力加速
航空机载惯性导航系统度G~g，故质量块的相对位移量为：k(g-g)=0Xm在惯性技术中，通常把加速度计的输人量（a-G）称为“比力”（specific force），本书第3章第五节将专门介绍。现在说明它的物理意义。这里作用在质量块上的外力包括弹簧力F和引力mG，根据牛顿第二定律，可以写出：F#+mG=ma移项后得：Fu=ma-mG再将上式两边同除以质量m，得到：F业=a-G令：Fm则得到：f=a-c由此可知，比力代表了作用在单位质量上的弹簧力。因为比力的大小与弹簧变形量成正比，而加速度计输出电压的大小与弹簧变形量成正比，所以加速度计实际感测的量并非是运载体的加速度，而是比力，故加速度计又称比力敏感器。28作用在质量块上的弹簧力与惯性力和引力的合力恰好大小相等，方向相反，因此又可把比力定义为作用在单位质量上惯性力与引力的合力（或说矢量和）。应该注意的是，比力具有与加速度相同的量纲。在式中，a是运载体的绝对加速度，当运载体在地球表面运动时其表达式已由前面的式子给出：而G是引力加速度，它是地球引力加速度G.、月球引力加速度G、太阳引力加速度G,和其他天体引力加速度的矢量和，即：4-32cG=G.+G.+G,+这样可得加速度计所敏感的比力为：93d'R.d'rdr+20XEG)+W×(W×r)-(G+G+G+f:de de.dt合d'R一般而言，地球公转引起的向心加速度与太阳引力加速度G的量值大致相等，故dt2有：d'R.-G,~0dr2在地球表面附近，月球引力加速度的量值G~3.9×10-C.：太阳系的行星中距地球最近的是金星，其引力加速度约为1.9×10-"G.：太阳系的行星中质量最大的是木星，其引力加速度约为3.7×10-*G.。至于太阳系外的其他星系，因距地球更远，其引力加速度更加微
第2章惯性导航基础理论小。对于一般精度的惯性系统，月球及其他天体引力加速度的影响可以忽略不计。考虑到上述这些关系，加速度计感测的比力可写成：+20起f=9+w×(wXr)-Gddtdr式中：为运载体相对地球的运动速度，用表示；同时注意到地球引力加速度G.与地de球自转引起的向心加速度共同形成了地球重力加速度，亦即：g=G-w×(wxr)这样，加速度计所感测到的比力可以写成：f=崇+20x0-gdel.在惯性系统中，加速度计是被安装在运载体内的某一测量坐标系中工作的，例如，直接安装在与运载体固连的运载体坐标系中（对捷联式惯性系统），或安装在与平台固连的平台坐标中（对平台式惯性系统）。假设安装加速度计的测量坐标系为p系，它相对地球坐标系的转动角速度为，则有：ddu+@mX#deldt于是，加速度计所敏感的比力可进一步写为：duf=+wgX+2w,Xu-gdt29或：f=i+WX+2wiXu-g上式就是运载体相对地球运动时加速度计所敏感的比力表达式，通常称为比力方程。式中各项所代表的物理意义如下：del或#di上式表示运载体相对地球的速度在测量坐标系中的变化率，即在测量坐标系中表示的运载体相对地球的加速度；（@×）表示测量坐标系相对地球转动所引起的向心加速度；（2×）表示运载体相对地球速度与地球自转角速度的相互影响而形成的科氏加速度；g代表地球重力加速度。由于比力方程表明了加速度计所敏感的比力与运载体相对地球的加速度之间的关系，所以它是惯性系统的一个基本方程。不论惯性系统的具体方案和结构如何，该方程都是适用的。如果令：(2wu+w)X-g=ag则上式可以写成：f-ag=i这里的α常称为有害加速度
航空机载惯性导航系统导航计算中需要的是运载体相对地理的加速度。但从上式看出，加速度计不能分辨有害加速度和运载体相对加速度。因此，必须从加速度计所测得的比力中补偿掉有害加速度a的影响，才能得到运载体相对地球的加速度，经过数学运算进而获得运载体相对地球的速度及位置等导航参数。第六节舒勒原理一个指示垂线的装置，如果固有振荡周期等于84.4min，则当运载体在地球表面以任意方式运动时，此装置将不受到运载体加速度的干扰。这个原理是德国数学家舒勒于1923年首先提出的，称为舒勒原理。通过选择参数使之满足舒勒原理，则称为舒勒调谐。舒勒原理及舒勒调谐在陀螺罗经和近地惯性导航系统中有着重要的应用。只有使平台系统成为舒勒调谐的系统，才不受运载体加速度的干扰而精确地重现当地水平面，从而使惯性导航原理的实现成为可能。一、数学摆跟踪垂线的舒勒原理参见图2-19，运载体上悬挂一个数学摆，摆的质量为m，摆长为1，摆绕支点的转动惯量为。假设地球是个不转动的球体，运载体沿球面大圆弧运动，不计运载体离地面的高度。A点为运载体的起始位置，AA'为A点垂线，运载体以加速度航行，经一段时间后到达B点，BB'为B点垂线。此外，假设6.为摆与起始垂线AA的夹角，6,为当地垂线BB'与30起始垂线AA的夹角，为摆偏离当地垂线BB的角度。单摆的运动方程式为：Jo,=mlacoso-mlgsine(2-3)当很小时有：Coso1和sing0,=0,+00，=0+0且0=/R(2 =4)图2-19数学摆跟踪垂线的舒勒原理式中：R为地球半径：上式可以写成：?+mlgo=(2 5)1R