《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十八章 隐函数定理及其定理 §2 隐函数组

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前页 后页 返回 雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国 ）

二、隐函数组定理定理18.4（隐函数组定理）设方程组（1）中的函数F与G满足下列条件：(i) 在以点P(xo,Jo,uo,vo)为内点的某区域 VR4上连续；(ii) F(P)=G(P)=0 (初始条件);(ii)在 V内存在连续的一阶偏导数;_ (F,G)(iv) J p,= a(u,v) Po±0.后页返回前页

前页 后页 返回 定理 18.4 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函数 F 与 G 满足下列条件： (i) 在以点 P0 (x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 为内点的某区域 4 V  R 上连续； (ii) ( ( ) ( ) 0 初始条件); F P0 = G P0 = (iii) 在 V 内存在连续的一阶偏导数； (iv) 0 . ( , ) ( , ) 0 0    = P P u v F G J 二、隐函数组定理

则有如下结论成立：1°必定存在邻域U(P)=U(Qo)×U(Wo)cV，其中Qo =(xo, yo), Wo =(uo, Vo), 使得V(x, y)e U(Qo), 3!(u,v) eU(Wo),u=u(x,y),即有(x,y)eU(Qo), (u,v) eU(Wo);V=v(x,y),且满足 uo = u(xo,o), Vo = v(xo,yo) 以及F(x, y,u(x,y),v(x,y) = 0,(x, y) e U(Qo).G(x, y,u(x, y),v(x,y) = 0,后页返回前页

前页 后页 返回 ( , ) ( ), !( , ) ( ), 0 U W0  x y U Q  u v  即有      = = ( , ) ( ), ( , ) ( ); ( , ), ( , ), 0 U W0 x y U Q u v v v x y u u x y ( , , ( , ), ( , )) 0, ( , , ( , ), ( , )) 0, F x y u x y v x y G x y u x y v x y      ( , ) ( ). U Q0 x y  则有如下结论成立： 且满足 0 0 0 0 0 0 u u x y v v x y = = ( , ), ( , ) 以及  1 必定存在邻域 ( ) ( ) ( ) , U P0 = U Q0 U W0 V 其中 0 0 0 0 0 0 Q x y W u v = = ( , ), ( , ), 使得

2° u(x,y),v(x,y) 在U(Qo) 上连续3° u(x,y),v(x,y)在U(Q)上存在一阶连续偏导数，且有Quova(F,G)a(F,G)axaxa(x,v)a(u,x)QuOv1 a(F,G)a(F,G)ayayJ a(y,v)Ja(u,y)本定理的详细证明从略（第二十三章有一般隐函数定理及其证明），下面只作一粗略的解释：前页后页返回

前页 后页 返回 2 o u x y v x y ( , ), ( , ) 在 上连续. 0 U Q( ) 3 o u x y v x y ( , ), ( , ) 在 U Q( ) 0 上存在一阶连续偏导 数, 且有 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) . ( , ) v F G x J u x v F G y J u y    = −         = −    1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) ; ( , ) u F G x J x v u F G y J y v    = −         = −    本定理的详细证明从略 ( 第二十三章有一般隐函 数定理及其证明 ), 下面只作一粗略的解释:

①由方程组(1)的第一式F(x,y,u,v)=0确定隐函数 u=β(x,y,v),且有Px =-Fx/Fu, P,=-F,/Fu,P, =-F,/Fu.② 将 u=(x,,v) 代入方程组(1)的第二式,得H(x,y,v) =G(x,y,p(x,y,v),v) = 0.③再由此方程确定隐函数v=v(x,y)，并代回至u=p(x,y,v(x,y) =u(x,y)这样就得到了一组隐函数u=u(x,y), v=v(x,y)后页返回前页

前页 后页 返回 ① 由方程组 (1) 的第一式 F x y u v ( , , , ) 0 = 确定隐 函数 u x y v =  ( , , ), 且有 , , .    x x u y y u v v u = − = − = − F F F F F F H x y v G x y x y v v ( , , ) ( , , ( , , ), ) 0. = =  u x y v x y u x y = =  ( , , ( , )) ( , ) . ② 将 u x y v =  ( , , ) 代入方程组(1) 的第二式, 得 ③ 再由此方程确定隐函数 v v x y = ( , ) , 并代回至 这样就得到了一组隐函数 u u x y v v x y = = ( , ), ( , )