单侧导数与导数的关系f(xo)= A f'(xo) =f=(xo)= A注：下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义（1）函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的（函数在个别点连续）(2)求分段函数在分段点的导数1 - cos x,，x≥0,例讨论f(x)在x = 0处的左右设f(x)=x<0.x,导数与导数
单侧导数与导数的关系: f(x0) = A f - (x0) = f + (x0) = A 注: 下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义. (1) 函数在个别点的函数值单独定义的, 其余点的函数 值用统一解析式定义的(函数在个别点连续). (2) 求分段函数在分段点的导数. 例 . ( ) 0 , 0. 1 cos , 0, ( ) 导数与导数 设 讨论 在 = 处的左右 − = f x x x x x x f x
解 由于cosAx一f(0 + △x) - f(O)Ax > 0,AxrAx1,Ax< 0,因此1 - cos △x lim= 0,f(0) =1AxAr-→>0+lim1=1f=(0) =△x→0因为f(O) ≠ f=(O),所以f 在x =0 处不可导
解 由于 − = + − 1, 0, , 0, 1 cos (0 ) (0) x x x x x f x f 因此 0, 1 cos 0 (0) lim = − → + = + x x x f 1 1 0 (0) lim = → − = − x f 因为 f + (0) f − (0),所以f 在x = 0处不可导
可以证明：可导一→连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件例4 证明函数f(x)= x-D(x)仅在点xo =0 处可导,其中D(x)为狄利克雷函数证 当 xo ≠ O时,由归归结原理可得f(x)在点xo =0 处不连续,所以f(x)在点x= xo处可导当xo = O时,由于D(x)为有界函数,因此得到f(x) - f(O) = lim xD(x) = 0.f'(0)= lim x-0x-→0x-→0
( )仅在点 0 0处可导,其中 ( )为狄利克雷函数. 2 例4 证明函数 f (x) = x D x x = D x 在点 0处可导. 证 当 0 0时,由归归结原理可 ( )在点 0 0处不连续,所以 ( ) x x x f x x f x = 得 = ( ) 0. 0 lim 0 ( ) (0) 0 (0) lim 0 0 , ( ) , = → = − − → = = x D x x x f x f x f 当x 时 由于D x 为有界函数 因此得到 可导→连续。即可导是连续的充分条件。 可以证明： 连续是可导的必要条件
二 导函数定义:若函数在区间I上每一点都可导导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称 f伪为I上的可导函数dy记作fy'或即dxf(x+△x)- f(x)f'(x)= limxelArAr→>0例证明(xn)= nxn-1, n为正整数,(i)(ii)(sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x(log a x) ==bog ae (a>0, a 1 >0), 特别 (n x) = 1(iii)xI
特别 例 证明 (i) n n nx n x , 1 ( ) − = 为正整数. (ii) (sin x) = cos x, (cos x) = −sin x (iii) log ( 0, 1, 0), 1 (log ) = a e a a x x a x . 1 (ln ) x x = 单侧导数),则称 为 上的可导 . 若函数在区间 上 一点都可导 (对区间端点,仅考虑相应的 函数 每 导 f I I 记作 , 或 ,即 dx dy f y , . ( ) ( ) 0 ( ) lim x I x f x x f x x f x + − → = 定义: 二 导函数
证(i)和(i)的证明略(i)下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式.由于AxAxAx2sinsincos(x +2sin( x + △x) - sin x2Ax2cos(x +ArAxAx22又由cos x是(-o0, +o0)上的连续函数,因此得到Axsin2Axlim(sin x)'= limcos(x +cosxAr2Ar-→0△r-→02
证 (i)和(iii)的证明略. (ii) 下面只证第一个等式, 类似地可证第二个等式. 由于 ) 2 cos( 2 2 ) sin 2 cos( 2 2sin sin( ) sin x x x x x x x x x x x x + = + = + − 又由cos x是(−, + )上的连续函数,因此得到x x x x x x x x ) cos 2 cos( 0 lim 2 2 sin 0 (sin ) lim = + → → =