2.切线的斜率曲线 y= f(x) 在其上一点P(xo,yo)曲线y=f(x)在其上一点P(xo,yo)处的切线PT是割线PQ当动点Q沿曲线无限接近与点P时的位置.因为割线PO的斜率为k_ f(x)-f(xo)yx-x0QT所以当x→xo时如果k的极限存在,则极限f(x)- f(xo)Pk = limx-xoCx→xoX即为曲线在点P的切线的斜率
沿曲线无限接近与点 时的位置 因为割线 的斜率为 曲线 在其上一点 处的切线 是割线 当动点 Q P PQ y f x P x y PT PQ . = ( ) ( 0 , 0 ) x Q 曲线 在其上一点 P(x 0, y 0) , 0 ( ) ( 0 ) x x f x f x k − − = 所以当x → x 0时如果k的极限存在, 则极限 y = f (x) 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x k − − → = 即为曲线在点 P的切线的斜率. O P T y 2. 切线的斜率
导数的定义定义1:设函数y= f(x) 在点xo的某邻某邻域内有定义,极限f(x)- f(xo)limx- xox→xo存在,则称函数f在点xo处可导,并称该极限为函数f在点xo处的导数,记作f(xo).Ayf(x0 + △x) -f(x 0)即 f(xo)= limlimAr->0 △xAx△x-→>0f(x) -f(x 0)(1) lim=x-xox-→xo若式极极限不存在，则称在点xo处不可导
x y x → = 0 f (x0) lim , ( 0). , 0 , 0 f x f x f x 处的导数 记作 存在 则称函数 在点 处可导 并称该极限为函数 在点 设函数y = f(x) 在点 x0 的某邻某邻域内有定义,极限 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x − − → 定义1: 即 x x0 f(x) f(x 0) lim f(x 0 ) f(x 0 ) 0 lim 0 − − → = + − → = x x x x x 若式极极限不存在，则称f在点 x0 处不可导. (1) 一 导数的定义
例1 求函数 f(x)= x2在点x =1处的导数,并求曲线在点(1,1)处的切线方程解：由定义求得(1+△x)2 -1f(1+Ax)-f{(1)= lim (f(I)= lim Ax△xAr-→0x→xo24r + 4r2= limlim (2+△x)= 2ArAr-→0Ax-→0由此知道抛物线=x-在点(1,1)处的切线斜率为k = f'(x) = 2所以切线方程为y = 2x -1y- 1 = 2(x -1)即
点(1 , 1)处的切线方程. 例1求函数 f (x) = x 2 在点x = 1处的导数,并求曲线在 解: 由定义求得 (2 ) 2 0 lim 2 2 0 lim x 1 2 (1 x) lim f(1 ) f(1) 0 (1) lim 0 + = → = + → = + − → = + − → = x x x x x x x x x x x f 由此知道抛物线 y = x 2 在点(1 , 1)处的切线斜率为 k = f (x) = 2 所以切线方程为 y −1 = 2(x −1) 即 y = 2x −1
例2 证明函数f(x)= x在点xo =0 处不可导证 因为f(x) - f(0) _ [μl「1,x>0,x-0[-1, x < 0x当x→0时极限不存在,所以f 在点x =0处不可导注：利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零即C = 0
例2证明函数f (x) = x 在点x 0 = 0处不可导. 证 因为 − = = − − 1, 0 1, 0, 0 ( ) (0) x x x x x f x f 当x →0时极限不存在,所以f 在点x = 0处不可导. 注: 利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零, 即 C = 0
定义2:设函数y=f(x)在点xo 的某邻域(xo，xo +)上有定义,若右极限f(x 0 + △x) -f(x 0)lim = limAxAx→0+ 4rxx→0+f(x) -f(x0) lim(0 <△x <)=X-x0x→xo存在,则称该极限为f 在点 xo的右导数,记作f(xo)类似地，可以定义左导数f(x) -f(x0)f(x0 + △x) - f(x0)fl(μ)= lim flim△xx-x0Ar-→>0x→xo左、右导数统称为单侧导数
(0 ) 0 x - x ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 lim x 0 lim 0 − → = + − → = → + + + x x x x x x y 定义2: 限 域 有定义,若右极 设函数y = f (x)在点x 0 的某邻 (x 0 , x 0 + )上 存在,则称该极限为f 在点x 0 的右导数,记作f + (x 0). 类似地, 可以定义左导数 x - x0 ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 (x) lim / - f 0 - − → = + − → = − x x x x 左﹑右导数统称为单侧导数