第二节收敛数列的性质0杨建雅
第二节 收敛数列的性质 杨建雅
数列极限的性质1 唯一性定理2.2钅每个收敛的数列只有一个极限证 设 lim xn =a,又 lim xn =b, a<b 由定义n>0n>00b-a对于ε =,3N1,N2.使得2当n>N,时恒有xn-α<;取N = max(N,N,}当n>N,时恒有x,-b<ε;b-ab-a则当n>N时有xnL22a+ba+b矛盾！:α=b即极限唯一即xn <xn22
定理2.2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 x a xn b a b n n n = = → → 设 lim ,又 lim , 由定义, 对 于 , , .使 得 2 N1 N2 b a − = ; 1 n N x − a 当 时恒有 n ; 2 n N x − b 当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 即 矛盾！ 2 , 2 a b x a b xn n + + a = b即极限唯一 则当n N时有 2 b a xn a − − 2 b a xn b − − 一、数列极限的性质 1 唯一性
2.有界性定理2.3收敛的数列必定有界证设 lim x,=,由定义，取ε=1,n-8则3N,使得当n>N时恒有x，-a<1,即有 a-1<x,<a+1.记 M = max[x;, ..,x~],|a - 1],a + 1,则对一切自然数n,皆有x, ≤ M,故(x,)有界注意：有界性是数列推论无界数列必定发散收敛的必要条件
定理2.3 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = → 设 由定义, 取 = 1, N, n N x − a 1, 则 使得当 时恒有 n a − 1 x a + 1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1 xN a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n 故 有界. xn 注意：有界性是数列 收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.有界性
3.保号性定理2.4若lima,=a>0(或a<0)，则对任意rε(0,a)n>00(或 r(0,a)），N,n>N时有a,>r(或a<r)4.保不等性liman,limb，均存在，并且N,n>N时an≤b,定理2.5若n->00n→>0则：lim a, ≤ lim b,n-8n-00
定理2.4若 ，则对任意 .（或 ） ， lim = 0( 0) → an a a n 或 r (0,a) r (0,a) N, n N a r( a r) 时有 n 或 n 定理2.5若 均存在，并且 则： n n n n a b → → lim ,lim N n N an bn , 时 n n n n a b → → lim lim 3.保号性 4.保不等性
例1设x, >0,且 limx, =a> 0,n→8求证 lim /x, = Va.n-00, : limxn =a,证 任给>0,n-→8:.3N使得当n>N时恒有x,-α<ε,xn-ax.a81从而有/x,-/a=Ya故limx,=an-?
例 1 lim . 0, lim 0, x a x x a n n n n n = = → → 求证设 且 证 任给 0 , lim x a. n n = → 故 lim x a, n n = → N n N x a , n 使得当 时恒有 − x a x a x a nn n +− 从而有 − = a x a n − a