三、导数的几何意义f'(xo)等于曲线y= f(x)在点(xo,yo)处切线的斜率所以曲线y= f(x)在点(xo,yo)处切线方程为 :y- yo = f'(xo)(x - xo)1法线方程为： y-yo(x -xo)f'(xo)注：若函数f(x)在xo不可导,则曲线y=f(x)在点(x0,f(xo))可能存在切线.因为函数f(x)在xo不可导,它的导数可能是无穷大,即曲线y= f(x)在点(xo,f(xo)可能存在与x轴垂直的切线
( ) ( ) 所以曲线 ( )在点( 0, 0 )处切线方程为： ( 0)等于曲线 在点 0, 0 处切线的斜率, y f x x y f x y f x x y = = y − y 0 = f (x 0 )(x − x 0 ) 法线方程为: ( 0) ( 0) 1 0 x x f x y y − − = − 注: . , ( ) ( 0, ( 0)) . ( ) 0 , )) 0 , ( 0 , ( ) ( 0 ( ) 垂直的切线 是无穷大 即曲线 在点 可能存在与 轴 可能存在切线 因为函数 在 不可导 它的导数可能 若函数 在 不可导 则曲线 在点 y f x x f x x f x x f x x y f x x f x = = 三﹑导数的几何意义
例求曲线y= x3 在点P(xo,yo)处的切线方程与法线线方程解 由于%= 3x +3x0x+ Ar2,AxF(c0)= m,(3x +3x04x+ r2)=3x△xr-→0所以,曲线y=x3 在点P的切线方程为y-y0 = 3xg(x-x0)曲线y=x3 在点P的法线方程为13(x -xo)y-xo23*0
例 法线线方 . 求曲线 3 在点 ( 0 , 0 )处的切线方程与 程 y = x P x y 解 由于 , 2 3 0 2 0 3x x x x x y = + + ( ) . 2 0 ) 3 2 3 0 2 0 (3 0 0 lim x x x x x x f x + + = → = 所以,曲线y = x 3 在点P的切线方程为 ( 0) 2 0 y − y 0 = 3x x − x 曲线y = x 3 在点P的法线方程为 ( 0 ) 2 0 3 3 1 0 x x x y − x = − −
定义3若函数,f在点 xo的某邻某U(xo)内对一切xEU(xo)有f(xo)≥ f(x)(f(xo)≤ f(x)则称函数 f在点xo 取得极大(小)值,称点 xo为极大(小)值点极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点定理 (费马定理)设函数f在点xo的某邻域内有定义，且在点xo可导若点x0为的极值点，则必有f'(xo)= 0极值点与稳定点的关系为：
( ) 值点. 极大值﹑极小值统称为极值,极大值点﹑极小值点统称 则称函数 在点 0 取得极 (小)值, 称点 0 为极大(小)值点. 0 ( ) ( ( 0) ( )), 若函数 在点 0 的某邻某 ( 0)内 一切 ( 0 ) 有 极 为 大 对 f x x f x f x f x f x f x U x x U x 定义3 定理 (费马定理) ) 0 0 ( 0 , 0 , 0 . f x = x f f x x 若点 为 的极值点 则必有 设函数 在点 的某邻域内有定义 且在点 可导 极值点与稳定点的关系为：