26/189 一般地,平行线具有性质: 性质1两条平行线被第三条直线所截,同位角相等 性质2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等 性质3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补 以上性质可简单说成: 两直线平行,同位角相等: 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补 上一节,我们利用“同位角相等,两直线早行”推出了“内错角相 等,两直线平行”,类似地,你能根据性质1,推出性质2吗? 如图5.3-2, 因为a∥b 所以∠1=∠2( 又∠3=(对顶角相等), 所以∠2=∠3. 对于性质3,你能写出类似的推理过程吗? 图5.3-2 例图5.3-3是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100°,∠B=115°,梯 形另外两个角分别是多少度 解:因为梯形上、下两底互相平行,所以∠A与∠DD ======-、C 互补,∠B与∠C互补 于是 ∠D=180°-∠A=180°-100°=80°, ∠C=180°-∠B=180°-115°=65, 图5.3-3 所以梯形的另外两个角分别是80°,65° 20第五章相交线与平行线
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27/189 练 1.如图,直线a∥b,∠1=54,那么∠2,∠3,∠4各是多少度? (第1题 (第2题) 2.如图,D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=60°,∠B=60 ∠AED=4 中(1)DE和BC平行吗?为什么? (2)∠C是多少度?为什么? 5.3.2命题、定理 前面,我们学过一些对某一件事情作出判断的语句,例如: (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 (2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补 (3)对顶角相等; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式 语句“画线段 AB=CD”是命题 像这样判断一件事情的语句,叫做命题吗?请再举出一些 ( proposition.命题由題设和结论两部分组成。题命题的例子 设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项 命题常可以写成“如果……那么……”的形 式,这时“如果”后接的部分是题设,“那么”后接 的部分是结论.例如,上面命题(1)中,“两条直 请你将命题 线都与第三条直线平行”是题设,“这两条直线也“改写成 互相平行”是结论 的形式 有些命题的题设和结论不明显,要经过分析才 能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如 第五章相交线与平行线|21
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28/189 果……那么……”的形式.例如,命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角 是对顶角,那么这两个角相等” 上面所举出的命题都是正确的,就是说,如果题设成立,那么结论一定成 立.像这样的一些命题,叫做真命题.还有一些命题,例如“如果两个角互 补,那么它们是邻补角”“如果一个数能被2整除,那么它也能被4整除”等 等,命题中题设成立时,不能保证结论一定成立,它们都是错误的命题.像这 样的命题叫做假命题 在前面几节,我们学过的一些图形的性质,都是真命题.它们的正确性是 我们经过推理证实的,这样得到的真命题叫做定理( theoren).作为真命题 定理也可以作为继续推理的依据 习 1.指出下列命题的题设和结论: (1)如果AB⊥CD,垂足是O,那么∠AOC=90°; (2)两直线平行,同位角相等 2.命题“问位角相等”是真命题吗?如果是,说出理由:如果不是,请举出反例 国习题53 复习巩固 1.如图,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同.如果第一次的拐角是36°,第 二次的拐角是多少度?为什么? (第1题 第2题) 221第五章相交线与平行线
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2.如图,在四边形ABCD中,如果AD∥BC,∠A=60°,求∠B的度数,不用度量 的方法,能否求得∠D的度数? 3.如图,平行线AB,CD被直线AE所截 (1)从∠1-110°可以知道∠2是多少度?为什么 (2)从∠1=110°可以知道∠3是多少度?为什么? (3)从∠1=110°可以知道∠4是多少度?为什么? 如图,a∥b,c,d是截线,∠1-80°,∠5=70,∠2,∠3,∠4各是多少度?为 什么? s.如图,要在一条公路的两侧铺设平行管道 如果公路一侧铺设的角度为120°,那么 为了使管道对接,另一侧应以什么角度铺 设?为什么? 用 (1)如图,由AB∥CD,可以得到() (A)∠1=∠2. (B)∠2=∠3 (2)如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=() (A)180° (B)270° (C)360° (D)540° 7.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此当光线从水中射向空气时,要发生 第五章相交线与平行线|23
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30/189 折射,由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图 ∠1=45°,∠2=122,求图中其他角的度数 56 8.如图,用式子表示下列句子: (1)因为∠1和∠2相等,根据“内错角相等,两直线平行”,所以AB和EF平 行 (2)因为DE和BC平行,根据“两直线平行,同位角相等”,所以∠1=∠B, 9.如图,这是一个国际象棋棋盘的示意图,它共有8 行8列,仿照它做出一张国际象棋的棋盘纸.类似 地,你还能做出一张中国象棋的棋盘纸吗? 10.操场中的相交线与平行线 (1)举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例 (第9 (2)如果要你画出一个篮球场地,你怎样做才能保证相应的线垂直或平行呢?不 妨在纸上试一试 1.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例 (1)邻补角是互补的角 (2)互补的角是邻补角; (3)两个锐角的和是锐角; (4)不等式的两边同乘以一个负数,不等号的方向不变 拓广探索 12.如图,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=4,D (1)∠DAB等于多少度?为什么? (2)∠EAC等于多少度?为什么? (3)∠BAC等于多少度?(通过这道题,你能说明为什么 三角形的内角和是180°吗?) 第五章相交线与平行线
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