中考复习资料 平面几何知识要点 平面几何知识要点(一) 【线段、角、直线】 过两点有且只有一条直线 2.两点之间线段最短 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂直线段最短 垂直平分线,简称“中垂线 定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的 垂直平分线(中垂线) 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 中垂线性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。 逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分 线上 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶 点的距离相等 角 1.同角或等角的余角相等。 2.同角或等角的补角相等。 3.对顶角相等 角的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理1:角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理2:到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上 平行】角形各内角平分线的交点,该点叫内心,它到三角形三边距离相等。 线】 平行线性质1:两直线平行,同位角相等 平行线性质2:两直线平行,内错角相等。 平行线性质3:两直线平行,同旁内角互补 平行线判定1:同位角相等,两直线平行。 平行线判定2:内错角相等,两直线平行 平行线判定3:同旁内角互补,两直线平行。 平行线判定4:如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段 成比例
中考复习资料 平面几何知识要点 1 平面几何知识要点（一） 【线段、角、直线】 1. 过两点有且只有一条直线。 2. 两点之间线段最短。 3. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 垂 直平分线，简称“中垂线”。 定 义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线（中垂线）。 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。 中 垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂 直平分线定理: 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。 .三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶 点的距离相等。 角 1. 同角或等角的余角相等。 2. 同角或等角的补角相等。 3. 对顶角相等。 角 的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定 理 1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理 2： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。 【平行线】 平行线性质 1：两直线平行，同位角相等。 平行线性质 2：两直线平行，内错角相等。 平行线性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线判定 1：同位角相等，两直线平行。 平行线判定 2：内错角相等，两直线平行。 平行线判定 3：同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定 4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例
中考复习资料 平面几何知识要点 平面几何知识要点(二) 【三角形】 面积公式: 1.已知三角形底a,高h,S=-ah 2.正三角形面积S= (a为边长正三角形) 3.已知三角形三边ab,c,则S=√p(p-aXp-bXp-c)(海伦公式) 其中:p=(a+b+e)(周长的一半) 4.已知三角形两边a,b及这两边夹角C,则S=- absin c。 5.设三角形三边分别为a、b、C,内切圆半径为r,则S≈(a+b+cr 设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 S=abe 4R 记住★:已知正三角形边长为a,其外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有 R R=2r 内角和定理:三角形三个内角的和等于1 推论1:直角三角形的两个锐角互余 推论2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论3:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形性质:如果两三角形全等,那么其对应边,对应角相等。其中对应边除了三角形 的边长外,还包括对应高,对应中线,对角平分线 全等三角形判定定理: 边边边公理:有三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 推论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边公理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 相似三角形性质定理 性质定理1:相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相 似比。 性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比 性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方
中考复习资料 平面几何知识要点 2 平面几何知识要点（二） 【三角形】 面积公式： 1． 已知三角形底 a，高 h， 1 2 S ah = 2． 正三角形面积 S= 3 2 4 a (a 为边长正三角形) 3．已知三角形三边 a,b,c，则 S p p a p b p c = − − − ( )( )( ) （海伦公式） 其中： ( ) 2 abc p + + = （周长的一半） 4．已知三角形两边 a，b 及这两边夹角 C，则 1 sin 2 S ab C = 。 5．设三角形三边分别为 a、b、c，内切圆半径为 r，则 ( ) 2 a b c r S + + = 6．设三角形三边分别为 a、b、c，外接圆半径为 R，则 4 abc S R = 记 住★：已知正三角形边长为 a ，其外接圆半径为 R ，内切圆半径为 r ，则有： 3 3 R a = ， 3 6 r a = ， R r = 2 内角和定理：三角形三个内角的和等于 180° 推论 1 ：直角三角形的两个锐角互余 推论 2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等。其中对应边除了三角形 的边长外，还包括对应高，对应中线，对角平分线。 全等三角形判定定理： 边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA） 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 相似三角形性质定理 性质定理 1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相 似比。 性质定理 2：相似三角形周长的比等于相似比。 性质定理 3：相似三角形面积的比等于相似比的平方
中考复习资料 平面几何知识要点 相似三角形判定定理 判定定理1:两角对应相等,两三角形相似(ASA) 判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 判定定理3三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截 得的线段也相等 推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰。 推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边。 定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直 线平行于三角形的第三边 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 推论2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。(三线合一) 推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等 角对等边) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 1.勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方(a2+b2=c2) 逆命题:如果三角形的三边长有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法,其中c 为最长边:如果:a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形; 如果a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形; 如果a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形 直角三角形斜边中线定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。 逆命题:如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是 直角三角形,且这条边为直角三角形的斜边 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半,由
中考复习资料 平面几何知识要点 3 相似三角形判定定理 判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似（ASA） 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三 角形与原三角形相似。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 。 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等 推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 。 推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 。 推论 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。（三线合一） 推论 3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等 角对等边） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 1．勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方（ 2 2 2 a b c + = ） 逆命题：如果三角形的三边长有关系 2 2 2 a b c + = ，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中 c 为最长边: 如果： 2 2 2 a b c + = ，则△ABC 是直角三角形； 如果 2 2 2 a b c + ，则△ABC 是锐角三角形； 如果 2 2 2 a b c + ，则△ABC 是钝角三角形。 2．直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。 逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是 直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半，由
中考复习资料 平面几何知识要点 此性质可推出:含30°的直角三角形三边之比为1:√3:2 4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 5直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半, 即r=a+b-c 2 也等子F=ab a+b+c 6.射影定理: ①如果△ABC是直角三角形,∠C=90°,CD⊥AB,则 AC=ADAB BC= DB. AB AD CD=AD DB DB ②如果△ABC,CD⊥AB,CD2=ADDB,则 △ADC∽△CDB ③对一般三角形的拓展:如图,如果△ADC∽△ACB,则: B AC=ADAB 7.如果∠ADE=∠B或∠AED=∠C,或∠C+∠DEB=180°, 或∠B+∠CDE=180° 那么有:AD·AC=AE·AB 8如果DE∥BC,那么有:AD:AC=AE:AB=DE:BC B 9.在△ABC中,AD是∠A的平分线,那么:ABBD AC DC 4
中考复习资料 平面几何知识要点 4 此性质可推出：含 30°的直角三角形三边之比为 1： 3 ：2。 4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 5.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半， 即 2 a b c r + − = 也等于 ab r abc = + + 6. 射影定理： ①如果△ABC 是直角三角形,∠C=90°，CD⊥AB，则 2 AC AD AB = . 2 BC DB AB = . 2 CD AD DB = . 2 2 AC AD BC DB = ②如果△ABC，CD⊥AB， 2 CD AD DB = . ，则: △ADC∽△CDB ③对一般三角形的拓展：如图，如果△ADC∽△ACB，则： 2 AC AD AB = . 7．如果∠ADE=∠B 或 ∠AED=∠C，或 ∠C+∠DEB=180°, 或 ∠B+∠CDE=180° 那么有：AD·AC=AE·AB 8.如果 DE∥BC , 那么有： AD AC AE AB DE BC : : : = = 9．在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，那么： AB BD AC DC = A B C D a b c h a b c o r A B C D A B D C A B C D E A B C D E
中考复习资料 平面几何知识要点 10.内、外角角平分线:DO平分∠AOB,EO平分∠COB 可以推出:∠DOE=90°,∠AOD+∠COE=90° B 平面几何知识要点(三) 【四边形及多边形】 A.0C 面积公式 平行四边形面积底×高 矩形面积=长×宽 菱形面积=对角线乘积的一半或菱形面积=底×高 梯形面积 (上底+下底)x高 中位线×高 对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半 平行四边形 性质定理1:平行四边形两组对边分别平行 性质定理2:平行四边形两组对角分别相等 性质定理3:平行四边形两组对边分别相等 推论:夹在两条平行线间的平行线段相等;平行线间的距离处处相等 性质定理4:平行四边形的对角线互相平分。是中心对称图形 判定定理1:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定定理3:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定定理5:对角线互相平分的四边形是平行四边形。 矩形 性质定理1:矩形对边分别平行且相等; 性质定理2:矩形的四个角都是直角 性质定理3:矩形对角线互相平分且相等 性质定理4矩形既是中心对称图形,也是轴对称图 判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形 判定定理2:有一个直角的平行四边形 判定定理3:对角线相等的平行四边形是矩形 菱形 性质定理1:菱形对边平行,四条边都相等 性质定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 性质定理3:菱形既是中心对称图形也是轴对称图形 判定定理1:四边都相等的四边形是菱形。 判定定理2:一组邻边相等的平行四边形是菱形; 判定定理3:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形 性质定理1:正方形对边平行,四边相等 性质定理2:正方形的四个角都是直角
中考复习资料 平面几何知识要点 5 10．内、外角角平分线：DO 平分∠AOB，EO 平分∠COB， 可以推出：∠DOE=90°,∠AOD+∠COE=90° 平面几何知识要点（三） 【四边形及多边形】 面积公式： 平行四边形面积=底×高 矩形面积=长×宽 菱形面积=对角线乘积的一半 或 菱形面积=底×高 梯形面积= ( ) 2 上底+ 下底 高 =中位线×高 对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半。 平行四边形： 性质定理 1：平行四边形两组对边分别平行 性质定理 2：平行四边形两组对角分别相等。 性质定理 3：平行四边形两组对边分别相等。 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等。 性质定理 4：平行四边形的对角线互相平分。是中心对称图形 判定定理 1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定定理 2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理 3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 判定定理 5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 矩形 性质定理 1：矩形对边分别平行且相等； 性质定理 2：矩形的四个角都是直角。 性质定理 3：矩形对角线互相平分且相等 性质定理 4：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。 判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 判定定理 2：有一个直角的平行四边形； 判定定理 3：对角线相等的平行四边形是矩形 菱形 性质定理 1：菱形对边平行，四条边都相等。 性质定理 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 性质定理 3：菱形既是中心对称图形也是轴对称图形。 判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形。 判定定理 2：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 判定定理 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 正方形 性质定理 1：正方形对边平行，四边相等； 性质定理 2：正方形的四个角都是直角； O B D E A C