对三角形我们并不陌生,比如我们知道“三角形中三个内角 的和等于180°”,你能证明这个定理吗?怎样利用这个定理求出 四边形、五边形……的内角和呢?请你到“三角形”中去探索, 在那里你不仅能够解决上面的问题,而且能够体验更多的认识图 形的方法 二元一次方程组”提供了许多实际间题情景,引导你分析 问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出二元一次方程组, 解方程组得到间题的答案,这样的过程将使你进一步感受方程是 解决实际问题的重要数学工具,在解二元一次方程组的过程中, 你还能体验到巧妙雨有效的“消元”的思想.相信你一定会对方 程有新的认识,利用方程解决实际问题的本领会大有长进 在现实生活中存在着大量的需要研究不等关系的问题,例如, 比较两个同学的身高,就是要研究身高的不等关系,在“不等式与 不等式组”中,你会遇到各种各样的不等关系,学会列、解不等式 的方法,你将看到如同方程可以解决具有相等关系的问题一样,不 等式可以解决具有不等关系的间题 据的收集、整理与描述”将带你走进统计的世界,在这 里,你将学会收集和整理数据的常用方法,还将接触到几种常见 的统计图表,学会如何用图表更直观地描述数据,并初步体验合 理地进行推断和预测.学习了本章,你会高兴地说:“我能更好 地用统计数据说话啦!” 数学伴着我们成长、数学伴着我们进步、数学伴着我们成 功,让我们一起随着这本书,畅游神奇、美妙的数学世界吧!
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7/189 第五章相交线和平行线 第五章 相交线与平行线 同学们,你们对相交线、平行线一定不陌生吧!你看,大桥上的钢 梁和钢索,棋盘上的横线和坚线,学校橾场上的双杠,教室中的课桌面、 黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线、平行线的 形象.你能在身边再找到一些相交线和平行线的实例吗? 这一幸,我们将研究平面上不重合的两条直线的位置关系:相交与 平行.首先是研究两条直线相交的情况、其中重点研究垂直这种情形;接 下来,借助于一条直线与两条直线相交所成的角,研究平行线的判定方 法和性质.在本章,你还将体会经过简单推理得出数学结论的方法,培养 言之有据的思考习惯
7 / 189 第五章 相交线和平行线
51相交线 5.1相交线 5.1.1相交线 如图5.1-1,观察剪刀剪开布片过程中有关角的变化 可以发现,握紧剪刀的把手时,随着两个把手之间的角逐渐 变小,剪刀刃之间的角也相应变小,直到剪开布片.如果把 剪刀的构造看作两条相交的直线,这就关系到两条相交直线 所成的角的问题 图5.1-1 任意画两条相交的直线,在形成的四个角(图5.1-2)中,两两相 配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系?根据这种位置关系将 它们分类 分别量一下各个角的度数,各类角的度数有什么关系?为什么?在 图5.1-1转动剪刀把手的过程中,这个关系还保持吗? 两直线相交所形成的角分类 位置关系大小关系 ∠1和∠2∠2和 图5.1-2 ∠1和∠3∠和∠ ∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互 补),具有这种关系的两个角,互为邻补角( adjacent angles on a straight line) ∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延 长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角( vertical angles) 在图5.1-2中,∠1与∠2互补,∠3与∠2互补,由“同角的补角相等”, 2|第五章相交线与平行线
8 / 189 5.1 相交线
9/189 可以得出∠1=∠3.类似地,∠2=∠4.这样,我们得到对顶角的性质: 对顶角相等 例如图5.1-3,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠3,∠4的度数 解:由邻补角的定义,可得 ∠2=180°-∠1=180°-40°=140°; 由对顶角相等,可得 ∠3=∠1=40°, ∠4=∠2=140° 练习 如图,取两根木条a,b,将它们钉在一起,并把它们 想象成两条直线,就得到一个相交线模型,你能说出其中 的一些邻补角与对顶角吗?如罘其中一个角是35°,其他三 个角各是多少度?如采这个角是90°,115° 5.1.2垂线 在相交线的模型(上面练习插图)中,固定木条a,转动木条b.当b的位 置变化时,a,b所成的角a也会发生变化.当a=90°时(图5.1-4),a与b互 相垂直( perpendicular) 图5.1-4 垂直是相交的一种特殊情形,两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另 一条直线的重线( perpendicular line),它们的交点叫做垂足( foot of a per- pendicular).在图5.1-5中,AB⊥CD,垂足为O 学行线」
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/189 日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互 相垂直的线条.你能再举出其他例子吗? 图5.1-6 究 如图5.1-7 1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几 2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条? 3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条 图5.1-7 经过一点(已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线,并且只 能画出一条垂线,即 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4第五章相交线与平行线
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