1期 孙连山等:零件的参数设计 用了几种改进方法其一是采用两倍或更多倍最小步长(即能达到精度要求的最大步长)搜索,获得该 步长下的局部最优解X,再修改程序,在x附近以最小步长或缩短的步长进行搜索,这样可能获得 个更优的解其二是当获得一个局部最优解时,把不可能的解域删除,如4取A等的情况这样可以 减少循环次数其三建立在对F(X)的值的分析上,注意到F(X)不能与y有太大偏差诸如F(X) 不能大于y+0.1,否则至少有一半的产品是次品,单产品损失就超过1000×10×b=50000 超过了某些局部最优值 实际上考察这些局部最优值可发现其对应F(X)值都在±0.3之间因此在搜索前先检验F(X) 值,对超过这个范围的初值不进行搜索,这样能减少最耗时间的搜索步骤 该模型的计算机解法中还需要几个对F(X)求偏导数后的函数这个可以采用离散的方法解决 实际中为了保证偏导函数的精度,我们使用 Mathematica数学软件包计算出了这几个偏导函数的形式 将其换为C++语言以认可的形式直接使用g语函数求得精度较高的值 当给定等级方案及初值X时的搜索程序框图(略) 七、结果分析 (一)参数分析 求解模型所得的最优设计方案,主要显示了各参数的综合效果为了了解各参数对最优设计方案 的影响,以便于在以后的设计中控制这些参数的调整范围.因此有必要将各参数对优化设计方案的影 响进行具体分析 为了研究某个参数对结果的影响程度,以最优值点为基础,先暂时固定其余的参数,有规律地改 变该参数变量值,观察其偏离最优值变化对目标函数的影响.下面给出了目标函数在最优解附近对七 个零件参数的敏感程度曲线图(其中系列a对应零件参数z1) 60(000 59010K系树1 系例3 系例5 系例4 优解对零件参数的敏感性曲线图 根据曲线与零件参数的对应关系,从上图可以看出参数m1在最优解附近对目标函数影响最大, 即目标函数最优点附近对零件参数x1的敏感度大相比之下,对零件参数x4,x6,x7的敏感度较小 也据是说,在最优点附近政变单个零件参数z4或6或的标定值不会引起目标值即总费用太大 变化.而对于参数x5来说,则是随标定值减少方向敏感而相反方向几乎没有引起目标值的变化.总 之目标值对各个零件参数,在最优点附近的敏感性综合如下: x1:敏感性高;x2:左侧敏感性次高,右側敏感性低;23:左側不敏感,右側敏感性低;z4 不敏感 z5:左侧敏感性次高,右侧敏感性低;x6:不敏感;z7:不敏感 有了以上参数分析的结果,便可在设计实践中指导控制参数,例如对敏感性高的参数,应尽量保 证它在最优值附近;而对那些不敏感的参数可以放宽对他的要求,必要时可作适当调整 (二)误差分析 零件参数的取值误差均会引起计算结果的误差在以上参数分析中我们讨论了各个参数在最优点 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
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16 数学的实践与认识 28卷 附近对目标函数的影响,由于关系式 x;=v;+△x;,△a;=r;ti,言=1…7 固定r;,则;与v是线性关系,于是从以上分析结果可以窥得标定值误差对计算结果的影响.结合 误差理论,根据多变量误差传递公式,参数y的标准误差为 I Ozi o? 再由y的计算值y-,可得它的百分误差为:×100% 在最优点时有结果 a=0.071864 1.49994 0×100%=479% 又由建模部分有如下关系式=r;4对于固定的一组标定值,标准误差a与某个相对系数r;的关 系是 σ=√/D+Lr2 其中D,L为某一常数值于是 0 D+ lr2 这就说明σ对单个相对系数有良好的稳定性.以下给出了AB,C三个等次相对偏差系数分别对最优 解的影响关系曲线 GULOU 450000 系3 4000 系何2 350UCI GuO 250000 优解对相对答件系数的敏感性曲线图 注系列1曲线对应C等,系列2对应B等,横坐标4处为最优值点.描点步长为各等级最大 相对系数的击即依次为1%0.5%,01% 图形表明改变相对系数在最优值点对结果影响不大,例如把B等以5%为标准改为以55%或 45%为标准,其它保持不变,可以看出最优目标值变化很小.同理A等标准从1%政为09%或1.1% 目标值几乎不变.C等标准不变引起目标值不变稍微大些,但这也在情理之中.因为相对系数处于越 大值,传递的误差也越大 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
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孙连山等:零件的参数设计 八、模型的特点、改进、推广及实际工 在该模型的建立过程中,我们用了概率论和误差传递的知识,简清地对实际问题构造了一种数学 模型.该模型可以用于一般的零件设计,其给出的目标函数也可以用于通常的产品生产中以估算成本 在建模的过程中,我们充分发挥了计算机的功能,行之有效的获得了几组局部最优解.我们还针对了 解灵活的调整程序,从而大大加快了程序运行的效率,并获得了更优的解但是或许由于模型自身的 问题,或许由于非线性规划的现行解法的问题,我们所得的只能是局部最优解.并且由于过多的依赖 计算机的运算能力,对该模型的数学内涵也讨论的偏少.同时,该搜索方法随着问题所要求的精度的 提高,计算时间上将成灾难性的增长 对于该模型的改进,今后可以对函数作一些性质上的分析,以减少搜索的范围.在搜索方法上 可以采用最优速降法,以加快搜索速度,还可以采用遗传算法,对染色体的基因组采用浮点编码,通 过繁殖交叉从而在大量解空间内很快的接近全局最优解.如果不考虑工艺加工上的限制,由于函数的 连续性,这样的基因编码方式是可行的 在实际问题中考虑的因素将更多,模型将相当复杂.譬如零件标定值的改变可能造成产品不能 装配,这样零件间就不是独立相关的了,还可能在实际生产中,该产品的质量要求远远大于其价格因 素(如开发新产品的过程中),那么目标函数可变为 min:g(z)=weightXN>+N(1000p2+9000p3) 其中 weight表示产品质量对产品价值影响的重要性wiht越小产品质量越重要, weight大产品质 量不太重要,也有可能要增加一个零件,这样有两种调整方案,一种是对全局的零件都进行调整,另 种就针对新加零件进行调整.如果考虑算法的效率、工艺操作的简捷性以及人事诸多方面的因素 似乎还是第二种更为合理些.在这种方案下,如果不使用计算机,考虑到使F(X)接近v对目标值 产生的影响远大于选等级的影响,可以采用如下方法调整: 首先选用该零件的最劣等级,然后采用类似搜索的方法来试生产,步长可以适当拉大些,直到达 到一个优值的生产点,最后,调整该产品的等级,再次在这个标定值下进行试生产,一般的,每批试 生产的产品不需要太多,有3~50个左右,就可以使产品很好的符合正态分布,满足其内在的数学 规律.如果在标定值范围内共有2m+1个生产点的话,至多试生产50(m+4)个产品就可以得到 个尚可的生产点了,对于m=3时,可以采取如图的试生产步骤 =3时的操作琛(共7次) 对于需要全局调整的方案,这种操作合理但不经济建议采用计算机求解 参考文献 l]符曦著,系统最优化及控制 2]詹姆斯恩-西多著,最优工程设计-原理及应用 3]陈立周等著,工程离散变量优化设计方法-原理及应用,复旦大学出版,上海 ]概率论,机械工业出版书 ]魏权齡等著,数学规划与优化设计,国防工业出版社 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
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第28卷第1期 数学的实践与认识 1998年1月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Jan.1998 零件参数设计的数学模型 黄杲陈旭东邵伟 指导教师:数模组 (浙江大学,杭州310027) 编者按本文先将粒子分离器参数y进行局部线性化处理,并将a化归为标准正态,其中v=∑ (axo)2,最后把总费用的目标函数归纳为一个标准正态的式子(文中(式)以上结果合理、简洁明 确.采用网格法及蒙特卡罗法分别计算,结果吻合、满意,得到的解较优,其中用蒙特卡罗法(取二万 个点)计算,在维数不变的情况下,不失为一种速而有效的算法 摘要本文建立了一个关于零件参数设计的数学模型.本文首先利用概率的理论,假设各零件产品的 参数服务从正态分布,推出粒子分高器某參数(y)偏差的分布函数,进而可得一批产品总费用的目标函 数,运用龙贝格数值积分将其转化为计算机可求值的函数,然后运用网格搜索法和蒙特卡罗法求出目标 函数的全局最优解 本文将两种方法的结果精度、算法复杂度等进行比较,重点讨论了效果较好的蒙特卡罗法,本文最后分 析了模型误差,并对模型进行了评价和推广 本模型最终得出产品总费用为42146万元/千件,其设定的零件参数为xT0.0750.375,0.123,0.115 1.273,12,071y,其容差等级为G=(B,BB,C,C;B,B 问题的分析 要求解的问题是使总费用最低而总费用包括各零件成本及次、废品损失费,综合考虑两种因素, 问题可归纳为总费用的非线性优化问题 由于待优化的目标函数复杂,无法利用其解析性质求最优解,故可考虑用直接全局搜索法或随机 试验点法 从生产实际考虑,本问题对解的精确度要求很高,但是对求解算法的实吋性无明确要求.我们认 只要求解时间不是太长,都是可接受的 摸型的假设及说明 1.假设各零件参数服从参数1,m为的正态分布,且不同零件的参数相互独立 2.假设各零件容差的等级与其标定值的比为定值,分别为:A级±1%,B级±5%,C级±1 说明根据概率论知识和工程实际生产的一些测量数据可知,成批生产的零件的参数服从能数为 〃o;的正态分布,其中,为各零件参数的期望值标定值).o,为均方差即容差的1/3),可推知各零 件的偏差△x;服从参数为0,的正态分布 2 C1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
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黄臬等:零件参数设计的数学模型 文中用到符号及说明 产品某参数 各零件参数 ya:y的目标值(=1.5)m各零件参数的标定值 y:各零件标定值确定 C;各零件成本 的零件参数 产品的参数的偏差 各零件容差等级比 各零件参数偏差 x7:x;标定值向量(=12,…,7):各零件参数均方差 (7):xT的取值空间 次品概率 等级取值向量 废品概率 产品参数的均方差 四、模型的建立和求解 本模型的建立基于概率论与误差的有关理论 各零件偏差△x,相对于其标定值较小,根据公式(1),y在y附近可以表示为: 由于Δx;较小,则可得dr;Δx;,由于△y=y-y-,则 (3) 在此,我们不加证明的引入 引理1x;服从参数为m;,的正态分布,且彼此相互独立,。,为不全为零的常数,若x=∑ X 根据公式(3)对应一组x;为一定值,而与△x;无关,则由引理1可很 △y~N(0,,(v∑ ax 以上结论也可由方差合成定理推得,见文献{2]p3 由概率论知识可得a~N(0,1) 目标函数的建立 产品总费用=零件总成本+次品的损失费+废品损失费 即w=∑?,c;+10091+9003可得 C;+900+1000×|重 8000×重 1.8 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
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