数学的实践与认识 卷 学校 队 员 指导教师 成都电子机械高专 数模组 曲阜师范大学 王金光 傅尊伟孟辉徐大川 沈在勋 西北师范大学 哈斯其劳 者明礼 朱小敏 刘信生 西安电子科技大学 王智立 郭百巍 广德实 胡予瀵 西安电子科技大学 毕峰 蔡康颖 刘海波 刘红卫 西安电子科技大学 张轶博 王敏惟 黄玉春 刘晖 西南石油学院 廖勇 崔大权 刘志斌 西南交通大学 李顺兵 赵海全 韩荣军 李天瑞 抚顺石油学院 王大鹏 国防科技大学 武元新 李稚锋 黄知涛 段小龙 国防科技大学 鲁焰荣 吕英军 巢颖平 吴盂达 杭州电子工业学院 杨黎明 洪坩荀林数模组 杭州电子工业学院 周密 何均姜发玉 数模组 杭州商学院 吴孝兵 康萍林菲数模组 武汉水利电力大学 宏民 奚增红 孙静 陈桂兴 武汉水利电力大学 徐振东 石教豪 黄崇 武汉水利电力大学 祝烈煌 孙素明 曹红加 江长平 武汉冶金科技大学 戚永红 李彤李静林杨波 武汉空军雷达学院 方学立 张建华 张孟雄 数模组 武汉空军雷达学院 袁俊泉 姜志敏 王建军 数横组 河北工业大学 吕英立 林春彩 程士龙 肖庭延 河北工业大学 郝立光 王永恒 韩景香 米洪海 河海大学 杨志祥 李军岑威钓丁根宏 空军气象学院 王彭华 赵立强 数模组 空军第二航空学院 周始伟 胡海潮 贾继超 高大新 郑州轻工业学院 项文敏 王永凯 李晓明 段潸堂 郑州航空工业管理学院 张莉萍 穆广宏 刘运红 彭建华 南开大学 王进 金含清 叶林 王彬 南方冶金学院 慕延华 熊小峰 南京师范大学 欧阳浩浚汪大伟房琴贞葛福生 南京邮电学院 杨振华 南昌水利水电高等专科学校李有限 春停 金木春 南昌航空工业学院 陈建文 黄奕蜂 郑熙强 哈尔滨工业大学 王庆波 赵晨飞 李宏博 教师组 哈尔滨工业大学 陈骏 尚维教师组 哈尔滨工程大学 卜凡 王家辉 韩松令 高振滨 复旦大学 黄敏 余斌 王维 刘进 重庆大学 重庆大学 王育新 高明 廖传锦 重庆大学 熊辉刘琼荪 重庆工业管理学院 刘炳南 张冰峰张吉武苏宏 重庆工业管理学院 重庆工业管理学院 杜先奇 何俊宏 韩智斌 胡顺仁 重庆通信学院 谢学义 刘之林 首都师范大学 赵中平 刘娟 黎栋材 王尚志 浙江大学 陈跃坚 胡凌宣 数模组 浙江大学 黄润真 林征宇 王立强 数模组 2 01995-2004 TSinghua Tongfang Optical Disc Co, LId. All rights reserved
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1期 1997年全国大学生数学建模竞赛 学校 队 员 指导教师 清华大学 倪兆中 姚志宏 刘学铮 黄红选 湘潭大学 曹剑斌 何进才 定亮 罗智明 福州大学 孙剑锋 方加来 刘贺斌 解放军电子技术学院 张顺新 数组 解放军后勤工程学院 陈邦国 朱平辉 庞利峰 建民 解放军后勤工程学院 解放军空军工程学院张晋民.黄胜谢辉教师组 解放军空军工程学院 教师组 解放军信息工程学院何王全姜恺赵昭灵 教师组 解放军测绘学院 李勤爽 解放军通信工程学院宋丽华荜鹏 王开华 暨南大学 许健萍常绪刚曾文东胡代强 1994-1997年全国大学生数学建模竟赛参赛简况表 「序号赛区总校数参 校数参赛队数 4年95年9年97年4 年96年9 北京c8 92110126 天河山辽吉黑上江浙安 北西宁林江海苏江徽 11 7 16 江西 山东51 湖 10 10 55 21 四云陕甘新福贵内青重 南北南东西川南西肃疆建州古 15 71 26 蒙 海 总计 259337 86712341683 2 C1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
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第28卷第1期 数学的实践与认识 Vol. 28 No. 1 1998年1月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Jan,1998 零件的参数设计 孙连山洪献曹奕剑 指导教师:周钢 (上海交通大学,上海2000 编者按本文的建模思路很有条理,模型简洁、正确,并对结果的敏感性作了详尽的分析,在算法上 也作了探讨,有一定创造 摘要模型是研究产品各零件参数对产品某一性能影响的 型,以减少生产产品总费用最小为 最终目的,主要用非线性规划化的思想建立,因为零件参数为随机变量,所以建模时要用桡率论的方法 给出非线性规划化问题目标函数,模型形式简洁.因零件加工精度的限制,实际参数标定值的选取是离 散的,我们可充分利用计算机的数值计算能力,用格种方法搜索最优值.其中虎克一吉福斯直接搜索法 果最好 问题重述(略) 二、合理的假设 根据零件设计工艺中的一些具体要求,并为达到简化问题的目的.除问题中已给出的假设外,我 们进一步做以下假设 1.假设组成产品的各个零件在生产过程中互不影响,而且这些零件可以无困难的组装成一件产 品.即若视各零件的参数为随机变量,则它们相互独立 2.假设问题中的经验公式在给定的零件参数变化范围之中是有效的 3.在大批量生产当中,假设整批零件都处在同一等级.本题中可视1000个零件都是A等、B 等或C等 4.设得到的产品分三个等级:正品、次品、废品.各等级产品性能参数的目标值分别为:正品: y∈(-0.1,+0.1)次品:y∈o-0.3,9-0.1]u[v+0.1,3+0.3]废品:y∈{y|y-yol≥ 并设生产过程中没有工艺失误造成产品的损坏 5.由于制造工艺技术上的限制,标定值只能以某种确定的间隔来选取,例如本问题中,则由于 精度的关系,我们可以选取的最小步长为001 三、符号约定 粒子分离器某性能参数 的目标值(3o=1.50); 的计算值 X=(x1,…,27)2其中z;=(i=1,…,7)为7个零件参数 :的取值下限 Emax ai x的取值上限; 关于X的经验公式 参数m;的标定值;(i=1,…,7) 参数的容差; 2 01995-2004 TSinghua Tongfang Optical Disc Co, LId. All rights reserved
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1期 孙连山等:零件的参数设计 △ 参数y的变化量; 容差关于标定值u1的相对系数 即△x;=11(=1,……,7) ;的方差(i=1,…,7); y的方差; C(X) 产品的成本函数(单位:元); N(p,a2):表示以为均值a2为方差的正态分布; v的分布密度函数; W(X) 产品质量损失函数(单位/元) 产品的总成本(单位/元); CwNC 产品质量总损失(单位/元) 产品数量(单位/个 零件容差等级分类标准值=1,…,m 四、问题分析 本问题是一个有条件约束的非线性规划问题 问题的约束条件由零件参数(包括标定值和容差)变化范围确定参数标定值的有效取值范围构 成问题解的可行域.我们的目标是确定零件参数的可行值,使得我们的产品总费用尽可能低 问题的目标函数就是总费用函数总费用由产品参数偏离目标值引起的质量损失费用和产品的成 本费用两部分组成,由于零件参数为随机变量,具有不确定性,我们考虑采用概率论方法来生成目标 函数对于值在可行域内的参数变量,利用它们的概率分布通过经验公式得出产品参数的概率分布 从而可以得出产品的质量损失费用函数W(X),而对应参数向量X存在一个成本费用函数C(X)于 是得出我们的产品总费用函数表示W(x)+C(X)我们的目标就是确定参数向量X的值以及各种 零件的等级,使目标函数W(X)+C(X)达到最小 本问题的求解过程实际上是一种优解搜索过程,由于参数的标定值容许范围是一个连续域,穷举 法显然是不可行的,而各种传统的优解搜索方法都只能得到局部最优解既然得到全局最优解有困难 从方法的可行性和有效性方面考虑,我们考虑采用混合搜索方法,利用计算机强大的计算能力,由点到 面,从多个局部最优解中选取最优的作为近似最优解,具体算法及其实现将在第七小解中详细讨论 五、原理和建模 因原问题是一个非线性规划问题,我们可设目标函数为g(X),X=(21,…,zn)2,则一般模型 可以写成如下形式 9(- z min ai s amax z, 在本问题中,目标函数受y偏移y造成的损失W(X)和C(X)选取零件所需成本两发面的影响 则有g(X)=W(X)+C(X).下面分别求出W(X)和C(X)就可得到本问题的数学模型 1.求成本消耗函数C(X)生产中用到的第i种零件成本为,则一件产品的成本为,从而批量生 产总成本为: C(X)=N 2.求目标y值偏离造成的损耗W(X).因为零件参数是随机变量v是其标定值,即v;= Ex;是x;的数学期望.σ;是其均方差.当进行大批量生产时,根据概率论中的大数定徘就有服从 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
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数学的实践与认识 28卷 容差通常规定为均方差的3倍,则有30=4r,即0;=vn/3.由y=F(X)得,02)又 正态分布,即△x;=-;-v服从期望为0、方差为2的正态分布.记为△;~N =∑△nF 其中对于一组给定的标定值(1,……,u7)F;是确定的数值,记为F.由概率论中相关的结论就有 △y~N(∑)从而由有服从期望为y=y-+△y方差为口2=∑的正态分布 则其密度函数为 (2-y-)2 f(y)=-h-e--22 则由假设y为正品的概率为 0+0 fly)d y为次品的概率为 yo-0.1 f(y)+ yo-0.3 y为废品的概率为 yo-0.3 f(y)dy+ f(y)dy 0.3 则总损失为 W(X)=N(100092+90003 综和上面(1)、(2)、(5)的结论可得到数学模型如下 minN∑c;+M(10002+9000p3) w min i<ui<amax 六、模型的计算机解法及桓图 对该非线性规划问题,一般只能通过计算机编程,采用随#求解我们采用的搜索法中主要的 个单步搜索的步骤如下 首先,对当前的X计算其目标函数值然后,对其中的当前搜索的分量加大一个步长·如果此时 新的在允许的变化范围内,同时其目标值优于前值,则沿这个方向(即加大方向)一直往前找,直到z; 越界,或者找到一个x;值,使得目标值在该点不优·此时退回一步得到x,如果原来的r;增加步长 后已经超过了允许范围,或者新的目标值并不比旧的优秀,则同样的沿减小方向搜索,类似的获得x 这个x所对应的Xx就是在其他分量不变的情况下,目标函数沿x;方向上的一个局部最优解 这样的单步搜索步骤对每个分量都适用.因此可以循环的对每个x;依次进行搜索,直到目标值 逐渐变优·由于程序是离散的有穷取点,根据题意也应存在一个全局最优值,则程序应在有限步内结 给定搜索初值对于零件等级的各种选取排列方法,依次取得在该排列下的局部最优解经比较即 得在该搜索初值下的局部最优解.给定更多的初值,则能得到更接近全局最优解的解在程序设计中采 2 C1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
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