例 设某城市一天中发生火警的次数X服从 参数为的泊松分布，未知，有以下样本值； 试估计参数（用矩估计法）。 火警次数k 0 123456 有k次火警的天数n75905422621∑=250 解：4=EX=2A,=12X,=X 令EX=， 即2=. n i=i 所以，矩估计量：元=灭.矩估计值： =x= (0×75+1×90+…+6×1)=1.22 250
例 11 设某城市一天中发生火警的次数X服从 参数为 的泊松分布， 未知，有以下样本值； 试估计参数（用矩估计法）。 1 1 1 1 n i i EX A X X n = 解： = = = = 令 EX X X = = , . 即 ˆ 所以，矩估计量： = X. 1 ˆ (0 75 1 90 6 1) 1.22 250 = = + + + = x 矩估计值： 0 1 2 3 4 5 6 75 90 54 22 6 2 1 250 k k k n = 火警次数 有 次火警的天数
例 12 设总体X~U[a,b],a,b未知；X1,…,Xn是X 的样本，求：a,b的矩估计量 解：4=EX= a+b 2 -x-a+w-6r生 令 2=21X=X…(四 n ”2- 12 …(2)
例 12 1 , 2 a b EX + 解： = = 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 12 2 b a a b EX DX EX − + = = + = + 设总体𝑿 ∼ 𝑼[𝒂,𝒃],𝒂, 𝒃未知；𝑿𝟏,… , 𝑿𝒏是𝑿 的样本，求：𝒂, 𝒃的矩估计量 令 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝟏 𝒏 σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑿𝒊 = 𝑿ഥ ⋯ (𝟏) 𝒃 − 𝒂 𝟐 𝟏𝟐 + 𝒂 + 𝒃 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝑿𝒊 𝟐 ⋯ (𝟐)
例 13 (1)代入(2)，得： -m=12x:-X2=s 12 n i=1 .b-a=2v3S, a+b=2X 解得：a=-VSn B=及+3S
例 13 ˆ 3 n 解得：a X S = − 2 2 2 2 1 ( ) 1 12 n i n i b a X X S n = − = − = 2 3 n − = b a S a b X + = 2 ˆ 3 n b X S = + (1) 代入 (2), 得： ˆ 3 n 解得：a X S = − ˆ 3 n b X S = +
例 14 设总体X的均值4，方差o2存在，4，o2为 未知参数，设X,…,Xn是X的样本； 求：4，σ的矩估计量。 解：4=EX=4, 42=EX2=DX+(EX)2=o2+u2 令EX=元，x2=12X, n i=1 得：4=灭， o2+2=2x, n i=l 所以立=元，2=12X-2=12(X,-2=S n i=l n i=I
例 14 2 2 1 , , , n X X X X 设总体 的均值 ，方差 存在， 为 未知参数，设 是 的样本； 2 求： , 的矩估计量。 1 2 2 2 2 2 , ( ) EX EX DX EX = = = = + = + 解： 2 2 1 1 , , n i i EX X EX X n = 令 = = 2 2 2 1 1 , , n i i X X n = 得： = + = 所以 ˆ = X , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ˆ ( ) n n i i n i i X X X X S n n = = = − = − =
15 结论 无论总体X服从何种分布，总体均值 EX=u,总体方差DX=σ2作为未知参数， 其矩估计量一定是样本均值和样本方差， 即： 立=元，62=1(X,-2
15 2 2 1 1 ˆ , ( ) ˆ n i i X X X n = = = − 无论总体X服从何种分布，总体均值 EX= μ, 总体方差DX=σ 2作为未知参数， 其矩估计量一定是样本均值和样本方差， 即： 结 论