例 16 设总体X的密度为p()= Ox (0-x),0<x<0. X,,X,是来自X的样本。 1)求日的矩估计量；2)求D()。 解：1)Ex=0-dx号 令9-，得=2灭： 2)Fx2-r.90-dx 302 10 D(X)=EX2-(EX)2= 02 20 D(O)=D(2灭)=4D(X)= 02 5n
例 16 令 ，得 ； 设总体X的密度为 3 6 ( ) ( x),0 . x p x x = − 1 , , X X n 是来自X的样本。 3 0 6 E ( )d 2 x X x x x = − = 2 X 解：1） = ˆ = 2X 2 2 2 3 0 6 3 E ( )d 10 x X x x x = − = 2） 2 2 2 D( ) E (E ) 20 X X X = − = 2 D( ) D(2 ) 4D( ) . ˆ 5 X X n = = = 1)求𝜃 的矩估计量𝜃 ；2）求𝐷 𝜃
极大似然估计 17 抛硬币的例子结果：10011101011：正，0：反 p(1-p)4 61ogp)+41og1-p) 号 猜测：0.6？ 8 20000 0.0020.40.60.81.0 0.002 0.40.60.81.0 p p 机制：发生概率大→容易发生→发生
极大似然估计 17 抛硬币的例子 结果：1001110101 1:正，0:反 猜测：0.6？ 机制：发生概率大 容易发生 发生 6 4 p (1 p) − 6log(p) 4log(1 p) + −
极大似然估计 18 原则： 以样本X,X2,…Xn的观测值x1,…xn来 估计参数01,02，，0k,若选取1,02，…，k 使观测值出现的概率最大，把61,62，，6k 作为参数01,02，…，0k的估计量
极大似然估计 18 原则： 以样本X1 ,X2 , ... Xn的观测值x1 , ... xn来 估计参数𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘，若选取𝜃 መ 1, 𝜃 መ 2, … , 𝜃 መ 𝑘 使观测值出现的概率最大, 把𝜃 መ 1, 𝜃 መ 2, … , 𝜃 መ 𝑘 作为参数 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘的估计量
离散情况 19 ()若总体X为离散型，其分布律 PX=x)=f(x;0), 的形式为已知，为待估参数。 又设x,L,x,是X,L,X的一个样本值； 样本X,L,X,取x,L,x的概率，即事件 {X=七，L,Xn=Xn}发生的概率为： P(X=xL,X,=x}=P(X =X )L P(X=x)=IIf(x;0) i=1 记：L(0)=L(x1,L,xn；0)=Πf(x;0), =1 L(Θ)称为样本的似然函数
离散情况 19 (1). { } ( ; ), = = X P X x f x 若总体 为离散型，其分布律 的形式为已知， 为待估参数。 1 1 , , , , n n 又设x x X X L L 是 的一个样本值； 1 1 , , , , 样本X X x x L L n n 取 的概率，即事件 { , , } X X 1 1 n n = = x x L ( ) ( , , ; ) ( ; ), 1 1 n n i i L L x x f x = = = L { , , } ( ) ( ) ( ; ), 1 1 1 1 1 1 n n n n i i P X x X x P X x P X x f x = = = = = L L = = 记： 发生的概率为： L()称为样本的似然函数