连续型r.v.的期望 口设X是连续型随机变量，密度函数为 = a<x<b 0其它 在[a,b]上取分点a=xo<x1<x2<…<xn=b, 则X落在区间(x-1,x)的概率是 p;=P(x<x<x) =Jp()≈p(x)Ax 则X可以近似为离散型.v. X x1 X2 Xn D Pi P2 Pn 小区间(x1,x)
连续型r.v.的期望 设𝑿是连续型随机变量，密度函数为 𝒑 𝒙 = ቊ > 𝟎 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 𝟎 其它 在[𝒂, 𝒃]上取分点𝒂 = 𝒙𝟎 < 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 < ⋯ < 𝒙𝒏 = 𝒃, 则𝑿落在区间(𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊)的概率是 1 则𝑿可以近似为离散型r.v. X x1 x2 … xn p p1 p2 … pn 小区间（xi-1 , xi )
连续型v.的期望 2 口按离散型，X的数学期望近似为 E0≈∑x,=】x4xAx i三1 i=1 令n→o,上式为xp(x)dx 推广到密度函数的一般情况，得到 十00 E(X)= xp(x)dx 00
连续型r.v.的期望 按离散型，𝑿的数学期望近似为 𝑬 𝑿 ≈ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊𝒑𝒊 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 ⋅ 𝒑 𝒙𝒊 𝚫𝒙𝒊 令𝒏 → ∞，上式为�� 𝒃 𝒙𝒑 𝒙 𝒅𝒙 推广到密度函数的一般情况，得到 𝑬 𝑿 = න −∞ +∞ 𝒙𝒑 𝒙 𝒅𝒙 2
连续型.v.期望定义 3 设连续型随机变量X的概率密度为(c),如 果积分∫p(x)d 绝对收敛，则称该积分为X 的数学期望（或均值），记为EX,即 EX=∫广xpod 如果积分」xp(x)c发散，则称X的数学期 望不存在
连续型r.v.期望定义 3
一些性质 4 类似于离散型，连续型v.期望同样具有线性性 质 X连续型，密度函数为p(x),令Y=g(X)(g(x) 连续)若g(x)p(x)dx绝对收敛，则 E(Y)=ELg(x)]=g(x)p(x)dx. 口类似地，X,Y连续型，联合密度为p(x,y),则 E(Z)=ELg(X,Y)] +00 十00 g(x,y)p(x,y)dxdy
一些性质 类似于离散型，连续型r.v.期望同样具有线性性 质 𝑿连续型，密度函数为𝒑(𝒙),令𝒀 = 𝒈 𝑿 (𝒈(𝒙) 连续).若∞− +∞ 𝒈 𝒙 𝒑 𝒙 𝒅𝒙绝对收敛，则 ∞− = �� �� �� = �� �� +∞ 𝒈 𝒙 𝒑 𝒙 𝒅𝒙. 类似地，𝑿, 𝒀连续型，联合密度为𝒑(𝒙, 𝒚),则 𝑬 𝒁 = 𝑬 𝒈 𝑿,𝒀 = න −∞ +∞ න −∞ +∞ 𝒈 𝒙, 𝒚 𝒑 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 4
方差、协方差 5 口离散型rv.的定义可直接推广到连续型rv D(X)-E((x-EXE()-[E(X) ou(X,Y)E((x-E(X))(Y-E(Y)))= o( E(XY-E(XE(Y
方差、协方差 离散型r.v.的定义可直接推广到连续型r.v. 𝑫 𝑿 = 𝑬 𝑿 − 𝑬 𝑿 𝟐 = 𝑬 𝑿 𝟐 − 𝑬 𝑿 𝟐 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 = 𝑬 𝑿 − 𝑬 𝑿 𝒀 − 𝑬 𝒀 = 𝑬 𝑿𝒀 − 𝑬 𝑿 𝑬(𝒀) 5