这样，陀螺的测量范围为0.01（"）/h～400（）/s，量程高达10%。这就要求捷联陀螺有大的施矩速度和高性能的再平衡回路。3.平台式系统的陀操仪安装在平台上，可以相对重力加速度和地球自转角速度任意定向来进行测试，便于误差标定。而捷联陀螺则不具备这个条件，因而装机标定比较困难，从而要求捷联陀螺有更高的参数稳定性。研制高精度的捷联陀螺和进行捷联陀螺的误差补偿，是捷联式惯导系统的主要关键技术。捷联式惯导系统是一种新型惯性导航系统，目前仍在发展过程中。2.3.1.捷联式惯导系统的姿态计算捷联式系统的主要特征是用计算机来完成导航平台的功能，即采用所谓“数学平台”。数学平台就是用捷联陀螺测量的载体角速度计算姿态矩阵，从姿态阵的元素中提取载体的姿态和航向信息：并用姿态阵把加速度计的输出从载体坐标系变换到导航坐标系，然后进行导航计算。由于载体的姿态方位角速率较大，可高达400()/s，所以姿态矩阵的实时计算，对计算机提出了更高的要求。姿态方位实时计算也是捷联式系统主要技术关键之一。载体的姿态和航向是载体坐标系和地理坐标系之间的方位关系。确定两个坐标系之间的方位关系问题，是借助力学中的刚体定点转动理论。描述动坐标系相对参考坐标系方位关系的方法有多种，我们简单地把它们分作三类，即三参数法、四参数法和九参数法。三参数法也叫欧拉角法：四参数法通常指四元数法；九参数法是方向余弦法，考虑到转动的不可交换性，有时用等效转动矢量加以辅助。一、欧拉角法一个动坐标系相对参考坐标系的方位，可以完全由动坐标系依次绕三个不同的轴转动的三个角度来确定。如把载体坐标系Oy作图2.18欧拉角为动坐标系，把地理坐标系Oryz，作为参考坐标系，则姿态角6、和航向角即为一组欧拉角，如图2.18所示。我们用表示载体坐标系相对地理坐标系的角速度在载体坐标系轴向的分量构成的列矢量。则从图2.18可以看出，和姿态航向角速度、、必的关系为[easor][[0]070talty+Cl0l+C,CLo]Lo3Leor展开合并得abxsinycos[cos?0So1- sing(2.43)ebyLsiny0cosfcosytets31
FattfcosOcosy0sinycoso或TO(2.44)-cOsYcosesinYcosocOsecoso0sin?cos?Lyil（2.44)式欧拉角微分方程。根据角速度可以求解0、和三个角度微分方程虽然只有三个，但每个方程都包含三角函数运算，且当一90°时，方程出现“奇点”，方程式退化，故不能全姿态工作。二、方向余弦法（一）用方向余弦表示的姿态矩阵方向余弦法是用失量的方向余弦来表示姿态矩阵的方法。用心、，表示沿地理坐标系轴向的单位失量，用i、J、k，表示沿机体坐标系轴向的单位失量。在地理坐标系内的方位可以完全由。的三个方向余弦来确定.其表达式为i=i·,+(i+)je+cik)同样的情况有j=i+·i+kkkg=(ksi,)ig+(kgig)j.+(kg.k)k)写成矩阵的形式为is.j.i.ki[i.ig[iijjkikLk.ikejak+kJkerisiig.jea.k.i,ijJ.k(2.45)CLheinkgjnk-ky[TuTizT]Ch=或[TT22TLrTsTJ(2.45)式即用方向余弦表示的姿态矩阵，和（2.2)式相等，即它们的对应元素相等。（二）方向余弦矩阵微分方程由失量的相对导数和绝对导数的关系式drldr+Xrdrdt并以地理坐标系作为参考坐标系，用来代替惯性坐标系，在，大小不变时，有dr0dtdr故有1d把这个式子在地理坐标系内表示，并写成矩阵的形式，即为(2.46)p=wxr32
0gbrWrby式中0[wX]=w(2.47)ghs tugbr0WgerWby(2.47)式是机体坐标系相对地理坐标系的转动角速度沿地理坐标系轴向的分量的反对称阵形式，通常用符号%×或表示。另外，从固定矢量的坐标变换有r = Cgr两边求导得=Cr+Chr考虑诊=0,故有tCrCCr和（2.46)式比较得Ct = [af, ×JCt = wfCt(2.48)(2.48)式两边求逆，考虑C为正交阵，c为反对称阵，故有(CT)-1 = (CT)T=C)(）-（）则(2.48)式变为C,-CW-CEfXJ(2.49)（2.48）和（2.49)式的角速度都是在地理坐标系内表示的。如果用角速度在机体坐标系轴向的分量表示时，则根据角速度反对称矩阵的相似变换得到wh=CfaeCh(2.50)w=Cofc把(2.50)式中的第式代入(2.48)和(2.49)式，得到Cf=Crak(2. 51)C,=-Wtc,(2. 52)(2.48）、（2.49)和(2.51)、（2.52)式为常用的姿态矩阵微分方程的四种形式。（三）方向余弦短阵微分方程的解考虑（2.51)式，为了书写方便，暂时把表示坐标系的上下标略去，则<2.51)式写作C=Car这是一个变系数的齐次微分方程，这个方程可用毕卡（Peano-Baker）逼近法求解。积分上式则有C(t) = C(0) +C(t)a(t)dt把等式右边的表达式逐次代入积分号内，第一次代入得C(t)= C(0) + "EC(0) + 'c(t)a*(t)dtJa*(t)dt= C(0) + c(o)f'w*(t)dt + f'f'c(t)a*(t)dta(n)dt33
第二次代入得C()- C(0) +C(0)['a(t)de + C(0)'fa*(e)dewr()d+ f"f'c(a(tda"(tde()d这样不断地进行代入，便得到C(t) C(O)[I + fa(t)dt + e(t)dra*(dt+I'ffa(t)de()dta*()de +..]T'a(t)dew(tdt='cfa(t)dejafa(e)de]-f'ar(de)式中(d(tde(ds-(d)故c()=C(O)+ Ja(t)d +fa(df()d ++ . -C()el11a即Cf(t) = C(O)eJi-od(2.53)(2.53)式还可写作Cg(t + At) = C(t)elJ+exos表示F(tdt-则Cf(t + t) = C(t)et(2.54)0- AfarA式中一Aote0-AAyAo5r0(2.54)式中的e可以写成如下的形式：eKiI + K+ K()(2.55)式中1为单位阵K，KK，为系数。如果知道了K、K?，K，三个系数，则矩阵指数函数可以表示成一个矩阵二次方程。现用矩阵A的特征方程来求它的特征值。由det(-)=0得+[()+()+(=0表示(A)2 +()2 +(r)3=()2则有+( 0其解为=0;2.3±j00;=1把特征值，z，，代入（2.55)式，则得到1=0,K,= 134
e=K,+Kj+K,(jo)?=.j,,,+j)2第二式和第三式相加得e+e-。=2-2K,%e+e-acOSAO=由21 -- cosA0K=故(A9.)2第二式减第三式得e,e-n, 2Keis -e-s.由sinA=2sindo,K. =故A.把K,Kz,K，代入（2.55)式得sinag,1 -- cos4ge=1+(A)2(2.56)APKX(A60)2Ao.代入（2.54)式得sing1-cosA（Ct(t+)=CE(t)[I+(A9,)2D6.或写作SinAe1- cosAo.(）门Cr(n + 1) = Cf(n)[1 +(2.57)26.(46.)2sinA,-cOsAO1取记号48。(48.)2把s和c展成级数并取有限项，则c、5，值如表2.3所列。由此得姿态阵的算法为表2.3cs值阶次c.5.01-211121-2(A8.)"36(0,)(2)341246一阶算法：(2.58)C(n + 1) = C(n)[I + X)二阶算法；C(n + 1) = C(n)[1 + ×+(49 X)37(2.59)a35