§4.1 Newton- Cotes公式 对于积分 I(f)=f(x) dx 如果知道f(x)原函数F(x)则由Neon- leibniz公式有 f(x)dx =F(x)a= F()-F(a) 但是在工程技术和科学研究中常会见到以下现象: (1)f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值 (2)f(x)原函数F(x)求不出来如F(x)不是初等函数 (3)f(x)的表达式结构复杂,求原函数较困难
§4.1 Newton-Cotes公式 ò = b a 对于积分 I( f ) f (x)dx 如果知道f (x)的原函数F(x),则由Newton - Leibniz公式有 ò b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a = = - 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: (1) f (x)的解析式根本不存在,只给出了f (x)的一些数值 (2) f (x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数 (3) f (x)的表达式结构复杂,求原函数较困难
以上这些现象 Newton- Leibniz很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法 这类方法很多但为方便起见最常用的一种方法是利用 插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下: 在积分区间[a,b]上取一组节点 a≤x0<x1<…<xn b 作f(x)的m次插值多项式 Ln(x)=∑f(x)(x) 不同的 插值方法 有不同的 l(x)(k=01…,m)为插值基函数 基函数
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法 这类方法很多,但为方便起见,最常用的一种方法是利用 插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下: 在积分区间[a,b]上取一组节点 a £ x0 < x1 <L < xn £ b 作f (x)的n次插值多项式 å= = n k n k k L x f x l x 0 ( ) ( ) ( ) l k (x)(k = 0,1,L,n)为插值基函数 不同的 插值方法 有不同的 基函数
用Ln(x)作为被积函数f(x)的近似有 f(x)dx< Ln(x dx=l2f(x)(x)dx =∑(x)4(k k=0 若计4=J14(女x,则 ()=(x)x=∑4(x)=l,() k=0 这就是数值求积公式其中A4称为求积系数 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立
用Ln (x)作为被积函数f (x)的近似,有 ò b a f (x)dx ò » b a Ln (x)dx ò å= = b a n k k k f x l x dx 0 ( ) ( ) å ò = = n k b a k k f x l x dx 0 ( ) ( ) 若计 = ò ，则 b a Ak l k (x)dx ò = b a I( f ) f (x)dx å= » n k k k A f x 0 ( ) 这就是数值求积公式 其中 Ak 称为求积系数 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立 I ( f ) = n
因此定义代数精度的概念: 定义1.若求积公式 ()=f(x)≈∑4(x)=l() k=0 对任意次数不超过m次的代数多项式P(x)(≤m)都准确成立,即 P(x)dx=∑ AK P(k i=0,1,…,m k=0 但对m+1次多项式却不能准确成立,即只要 m+1 m+1 xax ∑ k=0 代数精度也称 则称该求积公式具有m次的代数精度代数精确度
因此定义代数精度的概念: 定义1. 若求积公式 ò = b a I( f ) f (x)dx ( ) ( ) 0 A f x I f n n k » å k k = = 对任意次数不超过m次的代数多项式Pi (x)(i £ m)都准确成立,即 但对m + 1次多项式却不能准确成立,即只要 ò b a Pi (x)dx å= = n k k i k A P x 0 ( ) i = 0,1,L,m ò + b a m x dx 1 å= + ¹ n k m k k A x 0 1 则称该求积公式具有m次的代数精度 代数精度也称 代数精确度
例1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高 ()=f(x)x≈[f(0)+f(h)+ahL(0)-f(h)=1( 解对于f()=x91=x=b1=h h 对于f(x)=x2=xax= h 2 2 对于f(x)=x2 h h x=31=2+ah0-2h1 2a)h 令=1 12
例1. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高. [ (0) ( )] [ (0) ( )] ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 0 f f h ah f f h I f h I f f x dx h = » + + ¢ - ¢ = ò ò = h I x dx 0 0 解: 2 2 1 h I = [0 2 ] 2 2 3 1 ah h h I = + - 0 对于 f (x) = x = h I1 = h ò = h I x dx 0 1 1 对于 f (x) = x 2 2 h = ò = h I x dx 0 2 2 对于 f (x) = x 3 3 h = 3 2 ) 2 1 = ( - a h 1 令I = I 12 1 a =