困1,20平面ABC在三个品轴上的距分别是务，号，光 交但不等长，试画出一个惯用晶胞，标出(321)平面和[321]晶向， 并求出(321)平面法向与[321]晶向间的夹角.已知惯用晶胞边长 之比为1：1：2 [解] 参看图1.21，设正交晶轴 a141￥a2=a2ya3=a32 a1:4:a=1:1:2 故 a=ax az=ay a3=2 az 惯用晶胞巾的(321)平面在正交晶轴a1,2、a3上的截距是 0i-%-号0丽-爱-含00-学=2a 如果采拥长度为4的立方品轴，则该乎面的指数是(641).同样，正 交品系h的晶向”321]写成方向失量是 R:3a1+2 a+as =3a￥+2ay+2a2 。27·
采用立方晶轴，此方向的指数是[322]. 利用立方晶体中平面（五k)法向的方向指数也是[门，可以 求出(641)平面法向与(322)品向间的夹角，设此夹角为中，于是有 (321) [321 图1,21正交品胞中的(321)平面和[321]品向图1.22BA'=AB(1一名Cos0) 6×3+4×2+1×2 0s=++2导2谱 =ar6cos2号 1.11布喇菲点阵的转动对称性证明一个布喇菲点阵只可 能有2,3,4和6重轴的转动对称性。 【证明] 画出布喇菲点阵中垂直于转动轴的点阵平面.设阵点A是n 重转轴点，B是距离A最近的另一阵点（与A相差一个该方向上的 ·28+
】最短周期a)。由于布喇非点阵各阵点完全等价，故B也是？重转 轴点 将点阵平面绕A转动2（是整数），阵点B转到卫'点的位 置。既然该点阵有%重轴的转动对称性，转动9=2平后，点阵自 身完全重合，因而B必定也是一个阵点，同样，转动也可以绕B 点进行.将点阵平面绕B点转动（一），阵点A转到了A'点的位 置.同理，A'必定也是一个阵点.由于BA'平行于AB,所以， B'A必定是AB的平移周期，即为AB的整数倍. B'A=PAR 其中卫是整数，由图1.22的儿何关系得 BA'=AB(1-2 Cos0) p=1-2 cose 由于cos0的值必须在+1一一1之间，p只可能有0，士1,2,3 五个值。相应地0=2二中的0只能有12,3,4和6五个值，只 有的这些值是允许的，九=5,7,8.是不允许的，所以，布喇非 点阵只有2,3,4和6重轴的转动对称性。 1.12布喇菲点阵的中心反演对称性(a)证明任何布喇 菲点阵都具有中心反演的对称性.（⑦）证明金刚石结构对最近邻 连线的中点作中心反演是不变的，对其它任何点作中心反演都是 要变的. [证明I (a)一个布喇菲点阵是点阵平移失量R二na1+n2a2十3a3 所联系的诸点的列阵，这里a、2、a是该布喇菲点阵的初基关 ·29
量，n1,2,s是整数.取原点为对称心，作中心反演后，由R得到 一R=一14：一2a2一n3a3.显然，一R也是该点阵的点阵矢量. 因而布喇菲点阵对任何阵点（任何阵点都可以取为原点）作中心反 演后自身完全重合，所以，任何布喇菲点阵都有中心反演对称性. ()金刚石结构可以看作两个完全重合的面心立方点阵沿立 方体对角线向相反方向位移名对角线长穿套而成。设R是面心 立方点阵的点阵失量，R=na1+:+n,这里的：=在十 少)，=(+云)，-分（全+云）是面心立方点阵的初基矢 量.由(a)可知，R'=一R=-1a:一2a2一%3a3,也是这同一点阼 的点阵关量.将R和一R所描写的完全重合的两个面心立方点 阵沿立方体对角线(a1+a2÷a)向相反方向平移名对角线长，得 到两个互相穿套的面心立力点阵，其点阵失量分别为 R=na1十+ag+8(a1++a） R'=-1a一na:-gg-日(a1+a+ag) 这两个互相穿套的面心立方点阵R,一R所形成的结构即金石 结构（图1,23），而R和一R直为中心反演，对称心就是最近邻连 线的中点，位于】对角线长的地方. 由面心立方点阵的对称性可知，金刚石结构所有最近邻连线 的中点都是对称心 将两个重合的面画心立方点阵向相反方向位移共它任何矢量都 不构成金刚石结构，所以金刚石结构再无其它对称心. 1,13七种品系对称性降低的顺序七种晶系对称性降低的 ·30·
图1.23金刚石结构或方品胞中原子位受示意图.按图是立方体 平面投图，分数示原千炬投影基准面的距离，机线和细线分别表 示两个面立方次点阵相对于原点O向相反方向平移了导对角线长， 原点0为金刚石钻构的对称心，共它最近邻连线伯中点也是对称心 顺序如图1.24所示.属于对称性较高的晶系的布喇菲点阵可以经 过一个无限小的变形降低到对称性较低的品系，成为对称性较低 的品系中的布喇菲点阵（除三角一六角外），试从立方体的点对 称性出发，描述一系列无限小的变形，使由立方晶系的三种布喇菲 点阵得到四角、正交、单斜、三斜及三角晶系的十种布喇非点阵。 [解] 立方品系包括三种布喇菲点阵：sc、bcc和fcc,它们的点群正 是·人官方体的对称群[图1.25(a)].这三种布喇菲点阵具有不 同的空间群，但都有立方体的点群。如果我们将立方体的两个对 拉长，使立方体变为一个以正方形为基底的矩形棱柱[见图1.25 (b)门，其高和正方形的边不等，这样一个物休的对称群为四角群. 简兑立方布喇非点阵经过这样拉长后，得到简单四角布喇非点阵 体心立方和面心立方布喇菲点阵经过这样的拉长后，得到体心四 角布喇菲点阵. ·31