第三章低维系统的数值解 很多凝聚态系统即使在低维和单粒子近似下也无法得到精确的解析解，本章将介绍各种 低维量子阱系统的数值求解方法。 §3.1投射法 任意势下的薛定谔方程为， 2m在e)+re)-Ewe=0 h'd2 (3.1.) 利用有限元展开， 方2「+)-2ye)+e- +Ve)-E]w(e)=0 2m (&)2 (3.1.2) 或者写成， e+-[e-+2e-e- (3.1.3) 因此，只要知道了(：)和(：-正)，即可求得下一位置的Ψ（仁+正），这种方法称之为投 射法。 (山)对称势场如果势阱是对称性的，相应的波函数也是对称性的。 对于奇函数的w(),应有w(0)=0,因此可以选取： w(0)=0,(c)=1 最后再对其归一化。 实际上，W中还包含未知数E,它可由边界条件给出，即， 当：→时有(,→0和(，)→0（定态） 对于偶波函数的(e),则可选”(0)=1，并且有w(+正)尸(-正)，将其代入方程(3.13) 得到
62 第三章 低维系统的数值解 很多凝聚态系统即使在低维和单粒子近似下也无法得到精确的解析解，本章将介绍各种 低维量子阱系统的数值求解方法。 §3.1 投射法 任意势下的薛定谔方程为， ( ) [ ( ) ] ( ) 0 2 2 2 2 z + V z − E z = dz d m － (3.1.1) 利用有限元展开， [ ( ) ] ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 + − = + − + − V z E z z z z z z z m － (3.1.2) 或者写成， ( ) ( ( ) ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 z V z E z z z m z z − − + = − + (3.1.3) 因此，只要知道了 (z) 和 (z − z) ，即可求得下一位置的 (z + z) ，这种方法称之为投 射法。 (1) 对称势场 如果势阱是对称性的，相应的波函数也是对称性的。 对于奇函数的 (z) ，应有 （0）＝0 ，因此可以选取： (0)＝0， (z)＝1 最后再对其归一化。 实际上， 中还包含未知数 E ，它可由边界条件给出，即， 当 z → 时，有 (z, E) → 0 和 ( , ) → 0 z E z （定态） 对于偶波函数的 (z) ，则可选 （0）＝1 ，并且有 (+z)＝ (−z) ，将其代入方程(3.1.3) 得到
)-ro-E+2] (3.1.4) 很多波函数的迷取可以参照具体的势形式。如单势阱情况，波函数在垒内应是衰减的， 因此可令，w(:-正)=1，那么， we+)=we)cp-dt其中a=2mW-互 h (2)非对称势场一般来说，V()不一定具有对称性，此时通常选取， w(:-)=0,w(e)= 因为波函数乘以一个因子后并不影响本征值E,因此如果选取波函数第一点W(:一亡)很 小，但有限，比如说6w,那么第二点可以很大，比如为N6w,那么，第三点的值则为， ue+-[票ere-+2oy- (3.1.5 §3.2投射法应用举例 $3.2.1单量子阱解 数值计算15 nmGaosAlo2As10 nmGaAs/15 nmGao.sAlo2As对称势阱中的基态波函数，结 构如图3.2.1所示。真实解为2943mV。能量偏离后会出现w在右端的不收敛。 10 0:m0 40 图321波函数的数值解（虚线）与真实解（实线）
63 = ( ) ( (0) − ) + 2 2 2 1 ( ) 2 2 z V E m z (3.1.4) 很多波函数的选取可以参照具体的势形式。如单势阱情况，波函数在垒内应是衰减的， 因此可令， (z − z)＝1 ，那么， (z +z) =(z)exp(− z) 其中 2 2 ( ) m V − E ＝ (2)非对称势场 一般来说， V (z) 不一定具有对称性，此时通常选取， (z −z)＝0 ， (z)＝1 因为波函数乘以一个因子后并不影响本征值 E ，因此如果选取波函数第一点 (z − z) 很 小，但有限，比如说 ，那么第二点可以很大，比如为 N ，那么，第三点的值则为， − + = z V z − E + N m z z ( ) ( ( ) ) 2 2 ( ) 2 2 (3.1.5) §3.2 投射法应用举例 §3.2.1 单量子阱解 数值计算 15nmGa0.8Al0.2As/10nmGaAs/15nmGa0.8Al0.2As 对称势阱中的基态波函数，结 构如图 3.2.1 所示。真实解为 29.43meV。能量偏离后会出现 在右端的不收敛。 图 3.2.1 波函数的数值解（虚线）与真实解（实线）
§3.2.2测不准原理 测不准原理为， pA≥h/2 (3.2.1) 其中(2=2-e2,(p)2=p2）-(p)2。各量的计算为 =jwew(ed,）=S v()'vald =ae2et,）-eget (P)和(p)可用下式简单计算， (-mv(-:- 2 (p）-了v阳E+)-2)+wE-t (G)2 取垒高100meV,质量为常数，单量子阱的测不准原理计算结果如图3.22所示。在1，=10m 时出现极小。 0.60 0.55 +0.50 0 5 20 图322测不准关系随阱宽的变化
64 §3.2.2 测不准原理 测不准原理为， pz / 2 (3.2.1) 其中 2 2 2 (z) ＝ z － z ， 2 2 2 (p) ＝ p － p 。各量的计算为， z (z)z (z)dz * + − = ， z (z)z (z)dz 2 * 2 + − = z dz z p i (z) ( ) * = − + − ， z dz z p (z) ( ) 2 2 2 2 * = − + − p 和 2 p 可用下式简单计算， dz z z z z z p i z 2 ( ) ( ) ( ) * + − − = − + − dz z z z z z z p z 2 2 2 * ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) + − + − = − + − 取垒高 100meV，质量为常数，单量子阱的测不准原理计算结果如图 3.2.2 所示。在 lw ＝10nm 时出现极小。 图 3.2.2 测不准关系随阱宽的变化
$3.3各种势结构下的投射法 $3.3.1异质结势 Z-8Z 2+6z 图33.1异质结 设：点在阱内， e-[a+0- (3.3.) &→0时，有y(e+)=2w()-w(e-&) 或者，(e+正)一(e)=w(e)-(2-) 即波函数微分的连续性（常数质量m的情况） 3.3.2抛物线势阱 抛物线势阱是验证数值求解结果的很好例子 v()- (3.3.2) 其中=Vc/m
65 §3.3 各种势结构下的投射法 §3.3.1 异质结势 图 3.3.1 异质结 设 z 点在阱内， ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 * z E z z z m z z − − + = − + (3.3.1) z →0 时，有 (z + z) = 2 (z) − (z −z) 或者， (z + z)－ (z) = (z) − (z −z) 即波函数微分的连续性（常数质量 * m 的情况） §3.3.2 抛物线势阱 抛物线势阱是验证数值求解结果的很好例子。 2 2 1 V (z) = cz (3.3.2) 其中 ＝ c / m
v(z) E2 0 图33.2抛物线势阱 薛定谔方程， )+v(:)-Ev(-) 2d2 (3.3.3) 在Ga1AlAs中，搀杂浓度x可能与量子阱位置：有关，设为， xe)=x+-6-a/2j=-x (3.3.4 (a/2) 其中a为阱‘究'，b为垒‘宽'。xmm,xm分别为搀杂浓度的最大值和最小值。 取a=t10nm,m=0.067m。,xmn-0,xm=l0得到的禁闭能级如下： V(z) 13> 2 11> a- 10 20 30 z(mm) 图3.3.3Ga,AL,As/GaAs/Gar.AlAs抛物线势阱结构及其最低三个能级电子态示意图 表3.3.1抛物势下的本征能级数值解与精确解比较 序号n E(meV) E/2E 1 435.938 0.500 2 1307.809 1.500
66 图 3.3.2 抛物线势阱 薛定谔方程， ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 z cz z E z dz d m + = － (3.3.3) 在 Ga1-xAlxAs 中，搀杂浓度 x 可能与量子阱位置 z 有关，设为， 2 max min 2 min ( / 2) [ ( / 2)] ( ) ( ) a z b a x x x z x − − − = + (3.3.4) 其中 a 为阱‘宽’，b 为垒‘宽’。 min max x ，x 分别为搀杂浓度的最大值和最小值。 取 a=b=10nm， m 067me 0. * = ， xmin ＝0，xmax ＝10 得到的禁闭能级如下： 图 3.3.3 Ga1-xAlxAs/ GaAs/Ga1-xAlxAs 抛物线势阱结构及其最低三个能级电子态示意图 表 3.3.1 抛物势下的本征能级数值解与精确解比较 序号 n En (meV) En/2E1 1 435.938 0.500 2 1307.809 1.500