第一章量子点、量子线和量子阱的基本概念 §1.0凝聚态物理中的维度性 低维系统与高维系统相比，并不是维度的简单降低，其物理性质会发生深刻的变化。 对于一个均匀系统，表面原子数与体内原子数之比为， (D=1,2,3) (1.0.1) 零维系统相当于L→0，所有原子均处于表面。 §1.0.1布里渊区和费米面 反映凝聚态系统原子（格点）和电子的行为有两个重要的物理量：布里渊区和费米面。 在倒格矢空间（或动量空间）中取一个格点作原点，向其它格点连线，作这些连线的垂直平 分面，这些平面就是布里渊区的边界面，由这些边界面构成的最小的多面体便是第一布里渊 区。电子在晶格周期性势场中运动时，能量是动量的函数E(),在动量空间（倒格矢空间） 中，电子将从能量低的状态向高的状态逐一填充，其最大的电子能量便是费米能E,于是 动量空间中费米面满足的方程是， E(kky.k)=Eg (1.0.2) 将布里渊区的边界与费米面的边界比较一下，见表1.01可以看出，对于二维和三维，平直 的布里渊区边界和弯曲的费米面只能相交或相切，不能相互重合，但一维时两者有可能完全 重合，这个差别使得一维体系会发生晶格扭曲，二、三维则没有。 表1.0.1不同维度下的布里渊区和费米面 一维 二维 三维 布里渊区 线段 名边形 多面体 费米面 线段 曲边行 曲面体
28 第一章 量子点、量子线和量子阱的基本概念 §1.0 凝聚态物理中的维度性 低维系统与高维系统相比，并不是维度的简单降低，其物理性质会发生深刻的变化。 对于一个均匀系统，表面原子数与体内原子数之比为， = (D =1,2,3) L D (1.0.1) 零维系统相当于 L → ，所有原子均处于表面。 §1.0.1 布里渊区和费米面 反映凝聚态系统原子（格点）和电子的行为有两个重要的物理量：布里渊区和费米面。 在倒格矢空间（或动量空间）中取一个格点作原点，向其它格点连线，作这些连线的垂直平 分面，这些平面就是布里渊区的边界面，由这些边界面构成的最小的多面体便是第一布里渊 区。电子在晶格周期性势场中运动时，能量是动量的函数 E(k ) ，在动量空间（倒格矢空间） 中，电子将从能量低的状态向高的状态逐一填充，其最大的电子能量便是费米能 EF，于是 动量空间中费米面满足的方程是， x y z EF E(k , k , k ) = (1.0.2) 将布里渊区的边界与费米面的边界比较一下，见表 1.0.1 可以看出，对于二维和三维，平直 的布里渊区边界和弯曲的费米面只能相交或相切，不能相互重合，但一维时两者有可能完全 重合，这个差别使得一维体系会发生晶格扭曲，二、三维则没有。 表 1.0.1 不同维度下的布里渊区和费米面 一维 二维 三维 布里渊区 线段 多边形 多面体 费米面 线段 曲边行 曲面体
§5.2.2状态密度 温度不为绝对零度时，热运动使体系以一定的几率处于激发态，其中起主要作用的是 低能激发态，因为它们最容易被激发。在这些热激发的干扰下，体系的有序化程度就要降低， 因此，体系能否保持有序将在很大程度上决定于低能激发态的状态密度p(E)。下面以盒子 内地自由电子为例讨论态密度与维度的关系。 不同维度下的电子能量表述为， 0E=编代++的 nE=元++龙 DE=+龙+ 0D:E=K:+k+ 其中，k为本征值指标。 对于上面的连续能量，其态密度可如下求出：设体系的边长为L,边界限制条件要求， k:=2 (m=0,±L±2，.) (1.0.3) 相邻两个动量之间的间隔为1VL。于是在动量空间中，夹在动量壳层k→R+成中的状态 数目是， [dk/()=Ldk (ID) dn =2nkdk/()=2nLkdk (2D) (1.0.4) 42dk)2=4πLk2dk (3D) 对自由粒子E(k)=2k2/2m,因此得态密度
29 §5.2.2 状态密度 温度不为绝对零度时，热运动使体系以一定的几率处于激发态，其中起主要作用的是 低能激发态，因为它们最容易被激发。在这些热激发的干扰下，体系的有序化程度就要降低。 因此，体系能否保持有序将在很大程度上决定于低能激发态的状态密度 (E) 。下面以盒子 内地自由电子为例讨论态密度与维度的关系。 不同维度下的电子能量表述为， 3D: ( ) 2 2 2 2 2 x y z k k k m E = + + 2D: i x y z k k k m E = ( + ) + 2 2 2 2 1D: j z i x y k k k m E = + + 2 2 2 0D: k z j y i x E = k + k + k 其中 i,j,k 为本征值指标。 对于上面的连续能量，其态密度可如下求出：设体系的边长为 L，边界限制条件要求， ( 0, 1, 2,.) , , = m = L m kx y z (1.0.3) 相邻两个动量之间的间隔为 1/L。于是在动量空间中，夹在动量壳层 k k dk → + 中的状态 数目是， = = = = 4 /( ) 4 (3D) 2 /( ) 2 (2D) /( ) (1D) 2 1 3 3 2 1 2 2 1 k dk L k dk kdk L kdk dk Ldk dn L L L (1.0.4) 对自由粒子 E(k) k / 2m 2 2 = ，因此得态密度
L历11 (1D) (2D) (1.0.5) 4(E (3D) 图1.0.1不同维度下的自由粒子态密度 由此得到不同维度下的态密度，如图1.0.1中。对于三维(3D)体系，低能激发态的状态密度 趋向于零，(E→0)→0，因此在低温下状态数很少，热起伏很小，可保持有序结构， 只有当温度足够高时，热起伏才能破坏有序，于是发生相变。对于一维体系，低能激发态的 状态密度趋向无限，P(E→0)→∞，无论温度如何低（只要不是绝对零度），热激发所 引起的起伏都很强烈。于是在非绝对零度下，一维体系不能保持有序，因此也没有相变。对 于二维体系，其情况介于一维和三维之间，状态密度保持常数，总存在着一定的热起伏，在 热力学极限（体积？→0）下，有序化将被破坏，于是二维体系（如果能谱无能隙）不能 在大范围(V→)内保持有序，只能在一定的小范围内有序，或说无长程序，只有短程序。 这使得二维体系出现了新的序和相变特征。 量子点尺寸为纳米量级，边界约束使得其能级为分离的：严格的一维或二维系统只有最 低子带被占据，也就是说， §1.1半导体和异质结
30 = = = 4 2 ( ) ~ (3D) ~ (2D) 2 (1D) 1 ~ 1 2 ( ) 3 / 2 2 3 2 2 E E m L C L m E E m L dE dk dk dn dE dn E (1.0.5) 图 1.0.1 不同维度下的自由粒子态密度 由此得到不同维度下的态密度，如图 1.0.1 中。对于三维(3D)体系，低能激发态的状态密度 趋向于零， (E → 0) → 0 ，因此在低温下状态数很少，热起伏很小，可保持有序结构， 只有当温度足够高时，热起伏才能破坏有序，于是发生相变。对于一维体系，低能激发态的 状态密度趋向无限， (E → 0) → ，无论温度如何低（只要不是绝对零度），热激发所 引起的起伏都很强烈。于是在非绝对零度下，一维体系不能保持有序，因此也没有相变。对 于二维体系，其情况介于一维和三维之间，状态密度保持常数，总存在着一定的热起伏，在 热力学极限（体积 L 2 → 0 ）下，有序化将被破坏，于是二维体系（如果能谱无能隙）不能 在大范围（ V → ) 内保持有序，只能在一定的小范围内有序，或说无长程序，只有短程序。 这使得二维体系出现了新的序和相变特征。 量子点尺寸为纳米量级，边界约束使得其能级为分离的；严格的一维或二维系统只有最 低子带被占据，也就是说， §1.1 半导体和异质结
在半导体内可以实现完好的量子点、线和阱结构。根据量子力学，电子以动量币运动 时具有： 德布罗意波长2=hlp (1.1.1) 波矢=/h (1.1.2) 状态 y=enir-u) 1.1.3) 当电子在自由空间运动时，其能量即为动能E:=2K2/2m。若电子在半导体内运动，它 会受到正电离子所产生的品格势场的约束，从而偏离自由粒子的运动。固体物理中发展了有 效质量近似方法，即仍可把电子看成是自由粒子，但具有有效质量m*。由于半导体具有带 隙，其导带与价带结构是不一样的，因此半导体内的电子在导带和价带时具有不同的有效质 量。例如，对于GAs,其有效质量为m=0.067m,m,=0.60m,。有效质量是针对大 块材料而言，电子在材料内已扩展态的形式存在，电子波长远小于材料尺寸。 Es 图11,1半导体能带结构示意图 两种不同的半导体材料可以较好的生长在一起，它们的界面形成一个异质结。由多个 异质结构成的系统，我们称之为异质结构。依据电子态的局域性或延展性也可称之为量子阱 或超晶格。异质结的合成技术包括MBE、MOCVD等。每层厚度0.5~IOnm,从单原子层到 数十层结构。Ek:和Tsu首先提出组分调制半导体结构，用于合成电子振荡器，所用材料 为GaAs(阱)和Ga1AlAs(垒)，以实现调制的带边，在GaAs内实现禁闭态。这两种材 料具有相似的品格常数，因此能形成清晰的界面，不会造成因品格不匹配产生的张力。合成 31
31 在半导体内可以实现完好的量子点、线和阱结构。根据量子力学，电子以动量 p 运动 时具有： 德布罗意波长 = h / p (1.1.1) 波矢 k = p / (1.1.2) 状态 i(k r t) e − = (1.1.3) 当电子在自由空间运动时，其能量即为动能 Ek k / 2m 2 2 = 。若电子在半导体内运动，它 会受到正电离子所产生的晶格势场的约束，从而偏离自由粒子的运动。固体物理中发展了有 效质量近似方法，即仍可把电子看成是自由粒子，但具有有效质量 m* 。由于半导体具有带 隙，其导带与价带结构是不一样的，因此半导体内的电子在导带和价带时具有不同的有效质 量。例如，对于 GaAs，其有效质量为 mc 067me 0. * = ，mv 60me 0. * = 。有效质量是针对大 块材料而言，电子在材料内已扩展态的形式存在，电子波长远小于材料尺寸。 图 1.1.1 半导体能带结构示意图 两种不同的半导体材料可以较好的生长在一起，它们的界面形成一个异质结。由多个 异质结构成的系统，我们称之为异质结构。依据电子态的局域性或延展性也可称之为量子阱 或超晶格。异质结的合成技术包括 MBE、MOCVD 等。每层厚度 0.5~10nm，从单原子层到 数十层结构。Esaki 和 Tsu 首先提出组分调制半导体结构，用于合成电子振荡器，所用材料 为 GaAs（阱）和 Ga1-xAlxAs（垒），以实现调制的带边，在 GaAs 内实现禁闭态。这两种材 料具有相似的晶格常数，因此能形成清晰的界面，不会造成因晶格不匹配产生的张力。合成
的多层结构在未搀杂前称为未搀杂量子阱，它不含有载流子。对GaA1As层进行施主（或受 主)搀杂，电子（空穴）将会脱离搀杂离子进入GAs阱内，形成所谓的二维电子气，具有 很高的迁移率。 有些半导体材料如Si和G都有一个间接电子带隙，意味着电子倾向于聚集的地方即导 带最低点不在=0处，而价带的空穴是局域在该点的，因此电子与空穴很难辐射耦合，这 些材料也不具有发光特征。而GAs却有一个直接带隙，因此具有很强的发光特征，适宜于 制造光源和探测器，最典型的例子是半导体激光器，用于家庭激光唱盘或VCD。 根据研究性质不同，人们可以选择不同组分的单体材料来制备所需的超品格材料，如用 GaAs和AlGaAs可以制备半导体超品格GaAs/AIGaAs:用Fe和Cu可以制备Fe/Cu磁性超 品格，同样还有铁电超品格等等。制备一个结构稳定的半导体超品格应考虑如下几个步骤。 超品格设计步骤 内容 设计要素 目的 第一步 固溶体设计 组分、组分比 晶格常数的匹配、禁带宽度的控制 掺杂、载流子浓度 固溶体的稳定性 第二步 异质结构设计 材料组合、界面的价带和导带不连续的确定、电双重层 (能带不连续性) 面方向晶格常数的的考查 变化 界面态的控制、由品格常数变化引起 的物理性质的变化、界面位错等缺陷 的研究 第三步 超品格设计 超品格周期、层的 子能带、量子阱中能级的控制，有效 种类、组合整体的 质量，迁移率的控制、间接、直接跃 周期数、掺杂、断迁的转换、动态电子现象的讨论，超 面图 晶格稳定性的讨论。 制备技术中，将A、B两种材料存放在两个沉积源中，依次产生蒸汽流，沉积到衬底上。 假定设有某种闸门可以中断蒸汽流。闸门的定时开启和关闭能导致在衬底上依次形成平均厚 度为a的A沉积层和平均厚度为b的B沉积层.这样的过程重复N次，形成的结构记为AWB, 厚度a和b是亚层厚度，而a+bd是超晶格波长或超晶格的晶格常数。厚度a和b可以从 几个原子（或分子）平面到几百个或几千个原子平面
32 的多层结构在未搀杂前称为未搀杂量子阱，它不含有载流子。对 GaAlAs 层进行施主（或受 主）搀杂，电子（空穴）将会脱离搀杂离子进入 GaAs 阱内，形成所谓的二维电子气，具有 很高的迁移率。 有些半导体材料如 Si 和 Ge 都有一个间接电子带隙，意味着电子倾向于聚集的地方即导 带最低点不在 k = 0 处，而价带的空穴是局域在该点的，因此电子与空穴很难辐射耦合，这 些材料也不具有发光特征。而 GaAs 却有一个直接带隙，因此具有很强的发光特征，适宜于 制造光源和探测器，最典型的例子是半导体激光器，用于家庭激光唱盘或 VCD。 根据研究性质不同，人们可以选择不同组分的单体材料来制备所需的超晶格材料，如用 GaAs 和 AlGaAs 可以制备半导体超晶格 GaAs/AlGaAs；用 Fe 和 Cu 可以制备 Fe/Cu 磁性超 晶格，同样还有铁电超晶格等等。制备一个结构稳定的半导体超晶格应考虑如下几个步骤。 超晶格设计步骤 内容 设计要素 目的 第一步 固溶体设计 组分、组分比 掺杂、载流子浓度 晶格常数的匹配、禁带宽度的控制 固溶体的稳定性 第二步 异质结构设计 (能带不连续性) 材料组合、界面的 面方向晶格常数的 变化 价带和导带不连续的确定、电双重层 的考查 界面态的控制、由晶格常数变化引起 的物理性质的变化、界面位错等缺陷 的研究 第三步 超晶格设计 超晶格周期、层的 种类、组合整体的 周期数、掺杂、断 面图 子能带、量子阱中能级的控制，有效 质量，迁移率的控制、间接、直接跃 迁的转换、动态电子现象的讨论，超 晶格稳定性的讨论。 制备技术中，将 A、B 两种材料存放在两个沉积源中，依次产生蒸汽流，沉积到衬底上， 假定设有某种闸门可以中断蒸汽流。闸门的定时开启和关闭能导致在衬底上依次形成平均厚 度为 a 的 A 沉积层和平均厚度为 b 的 B 沉积层。这样的过程重复 N 次，形成的结构记为 A/B。 厚度 a 和 b 是亚层厚度，而 a+b=d 是超晶格波长或超晶格的晶格常数。厚度 a 和 b 可以从 几个原子（或分子）平面到几百个或几千个原子平面